3 変分法
次は (7) を最小にする関数
を変分法を用いて求める。
(7) の被積分関数を
とすれば、
そのオイラー方程式 ([1] 参照) は
となる。
は
の形、すなわち陽には
によらない形なので、
となり、
は定数となる。
今の場合は、
となるので、よって
を定数として
となる。変形すると、
なので、1 階の微分方程式
![\begin{displaymath}
f'=\pm f\sqrt{\frac{k_1^2f^2-G_1(f)}{G_1(f)}}\end{displaymath}](img76.gif) |
(8) |
が得られる。
良く知られているように、この微分方程式の解は、変数分離法により、
関数
![\begin{displaymath}
H(y) = \int_y^R \sqrt{\frac{G_1(f)}{k_1^2f^2-G_1(f)}} \frac{df}{f}
\hspace{1zw}(0< y\leq R)\end{displaymath}](img77.gif) |
(9) |
の逆関数のようなものとして得られる。
竹野茂治@新潟工科大学
2017年2月24日