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6 数値計算の際の注意

5 節で紹介した数値計算の計算値は電卓、 及びコンピュータ上での電卓程度のもので求めましたが、 実は、単に $G(x)$ や $F(x)$ に直接値を代入して引き算したものではありません。 それだと引き算する両者がかなり大きな値になって、 本来出てくる小さい値は誤差が大きくなってしまいます (いわゆる桁落ち)。

5 節でも桁落ちが起こらない、引き算を整理した式

$$G(x)-F(x) = \frac{x}{x+\sqrt{1+x^2}}+\log(x+\sqrt{1+x^2})$$

を紹介しましたが、実はこれも使っていません。

電卓を使ってみればわかりますが、 例えば $x=\hat{R}=216000$ のときに $\sqrt{1+x^2}$ を計算するのは あまり得ではなくて、代わりに $x$ を使えば十分です。 つまり、実際には数式をそのまま計算に使用しているのでなく、 必要な桁数を考えながら近似式を使って計算しています。

この節では、$G(x)-F(x)$ が大きな $x$ に対して どのような近似式で近似できるかを考えてみます。 $x$ が小さければテイラー展開で済みますが、 今回は $x$ は大きな値なのでそうはいきません。

まず、$G(x)-F(x)$ の後ろの対数の項ですが、 $\sqrt{1+x^2}\approx x$ と思えば

$$\log(x+\sqrt{1+x^2}) \approx \log(x+x) = \log2 + \log x$$

となります。実際にこの誤差がどれくらいであるか見てみます。 誤差を

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\log(x+\sqrt{1+x^2})-\log2x} &=& \log\frac{x+\sqr... ...og(1+p(h)) \hspace{1zw}\left(p(h)=\frac{\sqrt{h^2+1}-1}{2}\right)\end{eqnarray*}$$

のように変形すると、 $p(0)=0$ なので、$x$ が大きい、つまり $h$ が小さいときは $p(h)$ も小さくなります。

良く知られているように $X$ が小さいときは

$$\sqrt{1+X}=1+\frac{X}{2}+O(X^2)$$

ですから (マクローリン展開)、

$$p(h)=\frac{1+h^2/2+O(h^4)-1}{2}=\frac{h^2}{4}+O(h^4)$$

となります。一方で、

$$\log(1+X)=X-\frac{X^2}{2}+O(X^3)$$

ですから、

$$\log(1+p(h)) = p(h)-\frac{p(h)^2}{2}+O(p(h)^3) = \frac{h^2}{4}+O(h^4)$$

よって、

$$\log(x+\sqrt{1+x^2}) =\log2 + \log x + \frac{1}{4x^2}+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$ (6)

となります。

今度は $G(x)-F(x)$ の最初の項ですが、 これも $\sqrt{1+x^2}\approx x$ と思えば、

$$\frac{x}{x+\sqrt{1+x^2}} \approx \frac{1}{2}$$

となりますので、この誤差を考えます。

$$\frac{x}{x+\sqrt{1+x^2}}-\frac{1}{2} = \frac{x-\sqrt{1+x^2}}{2(x+\sqrt{1+x^2})} = -\frac{1}{2(x+\sqrt{1+x^2})^2}$$

となるので、$x=1/h$ とすれば、

$$\frac{1}{1+X}=1-X+O(X^2)$$

および $\sqrt{h^2+1}=2p(h)-1$ より

$$\begin{eqnarray*}\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}} &=& \frac{h}{1+\sqrt{h^2+1}} = \... ...}{4}+O(h^4)\right) %\\ &=& = \frac{h}{2}-\frac{h^3}{8}+O(h^5)\end{eqnarray*}$$

となり、よって

$$\frac{x}{x+\sqrt{1+x^2}}-\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\left(... ...{h^2}{8}+O(h^4) = -\frac{1}{8x^2}+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$ (7)

となります。結局、(6),(7) により

$$G(x)-F(x) =\log x + \frac{1}{2}+\log2 + \frac{1}{8x^2}+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$$ (8)

となることがわかります。

このような、大きな $x$ に対する関数の展開式を「漸近展開」と呼びます。 実は 5 節の最後の計算ではこの式を用いて ($1/8x^2$ 以降の項を無視して)、

$$G(216000)-F(216000)-(G(86400)-F(86400)) \approx \log\frac{21600}{86400} = \log 2.50$$

のような計算を行いました。

$x=8.64\times 10^4$ のような大きな値の場合、$1/8x^2$ は $10^{-11}$ 程度の小さな値になりますからこれで問題はありません。

数値計算や数式の様子を調べる現場では、テイラー展開だけではなくて、 このような漸近展開も広く使われています。

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