2 標準化と独立性

各確率変数 $x_j$ ($1\leq j\leq n$) は正規分布に従うが、 それぞれの平均と分散は違っていてもよいとする。すなわち、

  $$x_j\sim N(\mu_j,\sigma_j^2)\hspace{1zw}(\sigma_j>0)$$ (2)

であるとするが、先にこれを標準化する。

  $$u_j = \frac{x_j-\mu_j}{\sigma_j}\sim N(0,1)$$ (3)

となるので、これを使って $\overrightarrow{y}$ を表す。 (1) を行列化し、

  $$\overrightarrow{y}=A\overrightarrow{x}+\overrightarrow{b}, \hsp... ...w}\overrightarrow{b}=\left[\begin{array}{c}b_1\\ \vdots\\ b_m\end{array}\right]$$ (4)

とする。 一般に $\ell\times k$ 行列 $C$, $\ell$ 次元列ベクトル $\overrightarrow{p}$, $k$ 次元列ベクトル $\overrightarrow{q}$

$$C = [c_{i,j}]_{\ell,k} =\left[\begin{array}{c}\overrightarrow{\ha... ...\overrightarrow{q}=\left[\begin{array}{c}q_1\\ \vdots\\ q_k\end{array}\right],$$

に対して、

  $$C\otimes\overrightarrow{p} = \left[\begin{array}{c}p_1\overrig... ...y}{ccc}q_1\overrightarrow{c}_1&\cdots&q_k\overrightarrow{c}_k\end{array}\right]$$ (5)

と書くことにすれば、(3) より $x_j=\sigma_j u_j+\mu_j$ は

$$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{u}\otimes\overrightarrow{\sigm... ...rightarrow{\mu}=\left[\begin{array}{c}\mu_1\\ \vdots\\ \mu_n\end{array}\right]$$

となり、これにより、 $\overrightarrow{y}$ は

$$\overrightarrow{y} = A\overrightarrow{x}+\overrightarrow{b} = A... ...ow{u}\otimes\overrightarrow{\sigma})+A\overrightarrow{\mu}+\overrightarrow{b}$$

と書けるが、

  $$A = \left[\begin{array}{c}\overrightarrow{\hat{\alpha}}_1\\ \vdo... ...cc}\overrightarrow{\alpha}_1&\cdots&\overrightarrow{\alpha}_n\end{array}\right]$$ (6)

とすると、

$$\begin{eqnarray*}A(\overrightarrow{u}\otimes\overrightarrow{\sigma}) &=& \left... ...ight] \\ &=& (A\oplus\overrightarrow{\sigma})\overrightarrow{u}\end{eqnarray*}$$

となるので、 $\overrightarrow{y}$ は

  $$\overrightarrow{y}=(A\oplus\overrightarrow{\sigma})\overrightarr... ...{b}', \hspace{1zw}\overrightarrow{b}'=A\overrightarrow{\mu}+\overrightarrow{b}$$ (7)

と $\overrightarrow{u}$ の一次式として表されることになる。

$u_j$ は $x_j$ の一次式なので、 $x_1,\ldots,x_n$ が独立なら $u_1,\ldots,u_n$ も ( $(x_1,\ldots,x_n)$ の $n$ 次元分布に関して) 独立で、 逆に $u_1,\ldots,u_n$ が独立なら、 $x_1,\ldots,x_n$ も ( $(u_1,\ldots,u_n)$ の $n$ 次元分布に関して) 独立となる ([1])。 よって、元の問題は、$\mu_j=0$, $\sigma_j=1$ の 標準正規分布に関して独立性の判定ができれば、 一般の正規分布の場合でも (7) の形にしてから 標準正規分布に関して判定を行えばよいことになる。 よって、以後は $\mu_j=0$, $\sigma_j=1$ ($1\leq j\leq n$) とする。

一般に、連続確率変数 $x_1,\ldots,x_n$ が独立であるとは、 $n$ 次元確率変数 $(x_1,\ldots,x_n)$ の 密度関数 $f(\overrightarrow{x})=f(x_1,\ldots,x_n)$ が、 各 $x_j$ の密度関数 $f_j(x_j)$ を用いて

$$f(\overrightarrow{x}) = f_1(x_1)\cdots f_n(x_n)$$

となることであるが ([1])、 これは、任意の $t_1,\ldots,t_n\in\mbox{\boldmath R}$ に対して、同時確率が

  $$\mathrm{Prob}\{x_1\leq t_1,\ldots,x_n\leq t_n\} =\mathrm{Prob}\{x_1\leq t_1\}\times\cdots\times\mathrm{Prob}\{x_n\leq t_n\}$$ (8)

のように各 $x_j$ に対する確率の積で表される、と言い変えることもできる。

本稿では、上で見たように $x_j\sim N(0,1)$ としてよいので、 $f_j(x_j)=e^{-x_j^2/2}/\sqrt{2\pi}$ より、 $f(\overrightarrow{x})$ は

  $$f(\overrightarrow{x}) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^ne^... ...{x}\vert^2/2}, \hspace{1zw}\vert\overrightarrow{x}\vert^2 = x_1^2+\cdots+x_n^2$$ (9)

となる。この条件の元で、

  $$\mathrm{Prob}\{y_1\leq t_1,\ldots,y_m\leq t_m\} =\mathrm{Prob}\{y_1\leq t_1\}\times\cdots\times\mathrm{Prob}\{y_m\leq t_m\}$$ (10)

となるかどうか、そしてそうなるための条件を考えることが本稿の目標となる。