3.4 平均に関する命題の証明

前節の平均に関する命題 $E[y]=E[\phi(\vec{x})]$ を示す。 まず仮定と結論を明示する。

命題 1

$f:R^n\rightarrow\mbox{\boldmath R}$ が $n$ 次元密度関数、 $\phi:R^n\rightarrow\mbox{\boldmath R}$ は $\phi(\vec{x})f(\vec{x})$ が $\mbox{\boldmath R}^n$ 上可積分、すなわち

  $$f(\vec{x})\geq 0,\hspace{0.5zw}\int_{\mbox{\boldmath\scriptsize ... ...box{\boldmath\scriptsize R}}\vert\phi(\vec{x})\vert f(\vec{x})d\vec{x}<\infty$$ (37)

を満たし、かつすべての $y\in\mbox{\boldmath R}$ に対し

  $$\int_{\{\vec{x}\vert\phi(\vec{x})=y\}} f(\vec{x})d\vec{x}=0$$ (38)

であるとする。また、 $y=\phi(\vec{x})$ の分布関数

  $$G(y)=\int_{\{\vert\vec{x}\vert\ \phi(\vec{x})\leq y\}}f(\vec{x})d\vec{x}$$ (39)

の導関数を $g(y)=G'(y)$ ($\geq 0$) とする。

このとき、$yg(y)$ は $\mbox{\boldmath R}$ 上可積分、すなわち

  $$\int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}}\vert y\vert g(y)dy<\infty$$ (40)

で、

  $$\int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}}yg(y)dy = \int_{\mbox{\boldmath\scriptsize R}^n}\phi(\vec{x})f(\vec{x})d\vec{x}$$ (41)

が成り立つ。

証明

正数 $\Delta y$ を任意に取る。また、 $A\subset\mbox{\boldmath R}$ に対して

  $$\chi_A(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & (\mbox{$x\in A$\ のとき})\\ 0 & (\mbox{$x\not\in A$\ のとき}) \end{array}\right.$$ (42)

とする。$y\geq 0$ の範囲を $\Delta y$ 幅の区間 $A_j = [j\Delta y,(j+1)\Delta y)$ ($j\geq 0$) に分けると、 $y\geq 0$ に対して

  $$\sum_{j=0}^{\infty}j\Delta y\chi_{A_j}(y) \leq y \leq \sum_{j=0}^{\infty}(j+1)\Delta y\chi_{A_j}(y)$$ (43)

が成り立つので (両辺は $\Delta y$ 幅の階段関数)、$g(y)\geq 0$ より、 この左辺を $g(y)$ 倍して $[0,\infty)$ で積分したものを $I_1$, 右辺を $g(y)$ 倍して $[0,\infty)$ で積分したものを $I_2$ とすると

  $$I_1 \leq \int_0^\infty yg(y)dy\leq I_2$$ (44)

となる。$I_1$ の積分を分けて変形すると、

$$\begin{eqnarray*}I_1 &=& \int_0^\infty\sum_{j=0}^{\infty}j\Delta y\chi_{A_j}(y... ...lta y\int_{\{\vec{x}\vert\phi(\vec{x})>0\}} f(\vec{x})d\vec{x} \end{eqnarray*}$$

と下から評価される。同様にして、$I_2$ は

$$\begin{eqnarray*}I_2 &=& \int_0^\infty\sum_{j=0}^{\infty}(j+1)\Delta y\chi_{A_... ...lta y\int_{\{\vec{x}\vert\phi(\vec{x})>0\}} f(\vec{x})d\vec{x} \end{eqnarray*}$$

と上から評価される。 よって、(44) より

$${\int_{\{\vec{x}\vert\phi(\vec{x})>0\}} \phi(\vec{x})f(\vec{x})d\... ...vec{x}\vert\phi(\vec{x})>0\}} f(\vec{x})d\vec{x} \ \leq\ \int_0^\infty yg(y)dy}$$

$$\leq \int_{\{\vec{x}\vert\phi(\vec{x})>0\}} \phi(\vec{x})f(\vec{x})d\vec{x} +\Delta y\int_{\{\vec{x}\vert\phi(\vec{x})>0\}} f(\vec{x})d\vec{x}$$ (45)

となる。仮定 (37) より この右辺は有限値なので、(44) より

  $$\int_0^\infty yg(y)dy <\infty$$ (46)

が得られ、また $\Delta y$ は任意なので、 $\Delta y\rightarrow +0$ と すれば (45) より

  $$\int_0^\infty yg(y)dy =\int_{\{\vec{x}\vert\phi(\vec{x})>0\}} \phi(\vec{x})f(\vec{x})d\vec{x}$$ (47)

が得られる。

$y<0$ に対しても同様に、

  $$\sum_{j=-\infty}^{-1}j\Delta y\chi_{A_j}(y) \leq y \leq \sum_{j=-\infty}^{-1}(j+1)\Delta y\chi_{A_j}(y)$$ (48)

となるので、

$$I_3 = \int_{-\infty}^0\sum_{j=-\infty}^{-1}j\Delta y\chi_{A_j}(... ...I_4 = \int_{-\infty}^0\sum_{j=-\infty}^{-1}(j+1)\Delta y\chi_{A_j}(y)g(y)dy$$

に対して

  $$I_3\leq \int_{-\infty}^0 yg(y)dy\leq I_4$$ (49)

となり、

$$\begin{eqnarray*}I_3 &=& \sum_{k=-\infty}^{-1}\int_{A_k}\sum_{j=-\infty}^{-1} ... ...a y\int_{\{\vec{x}\vert\phi(\vec{x})\leq 0\}}f(\vec{x})d\vec{x} \end{eqnarray*}$$

となるので、$y\geq 0$ の場合同様、 仮定 (37) と $I_3$ の評価より

  $$\int_{-infty}^0\vert y\vert g(y)dy = -\int_{-infty}^0yg(y)dy <\infty$$ (50)

が得られ、 $\Delta y\rightarrow +0$ により

  $$\int_{-\infty}^0 yg(y)dy =\int_{\{\vec{x}\vert\phi(\vec{x})\leq 0\}} \phi(\vec{x})f(\vec{x})d\vec{x}$$ (51)

が得られる。

よって、(46),(50) より (40) が、 (47), (51) より (41) が得られる。

なお、この証明と同じ手法により、任意の $t\in\mbox{\boldmath R}$ に対して

  $$\int_{-\infty}^t yg(y)dy =\int_{\{\vec{x}\vert\phi(\vec{x})\leq t\}} \phi(\vec{x})f(\vec{x})d\vec{x}$$ (52)

が成り立つこともわかる。