2 方向微分係数
に対して (実際は後で述べるように
でよい)、
の関数
を、
![\begin{displaymath}
g_\theta(t) = f(a+t\cos\theta, b+t\sin\theta)\end{displaymath}](img26.gif) |
(3) |
と定める。点
は、
点
から
方向 (動径ベクトル
の方向) に伸びる直線
上を、
から距離
だけ進んだ点 (図 1) であり、
よって (3) は、
の
上の値だけを見た 1 変数関数、ということになる。
図 1:
と
|
この
の微分係数を、
の
方向への
方向微分係数 と呼ぶ。
合成関数の微分 ([1] 定理 34.1) により、
![\begin{displaymath}
g_\theta'(t)
= \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{d...
... f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}
= f_x\cos\theta + f_y\sin\theta\end{displaymath}](img31.gif) |
(4) |
となるから、
とすると
は
となり、
仮定 (1) より、
となる。
(4) をさらに微分すると、
![\begin{eqnarray*}g_\theta''(t)
&=&
(f_x)'\cos\theta + (f_y)'\sin\theta
\\ &=&...
...eta)\cos\theta
+(f_{yx}\cos\theta + f_{yy}\sin\theta)\sin\theta\end{eqnarray*}](img34.gif)
となるので、偏微分の順序交換の定理 ([1] 定理 33.1)、
および仮定 (2) より、
となることがわかる。
竹野茂治@新潟工科大学
2014年11月14日