2 方向微分係数

$0\leq\theta <2\pi$ に対して (実際は後で述べるように $0\leq\theta <\pi$ でよい)、$t$ の関数 $g_\theta(t)$ を、

$$g_\theta(t) = f(a+t\cos\theta, b+t\sin\theta)$$ (3)

と定める。点 $P(a+t\cos\theta, b+t\sin\theta)$ は、 点 $(a,b)$ から $\theta$ 方向 (動径ベクトル $(\cos\theta,\sin\theta)$ の方向) に伸びる直線 $\ell _\theta$ 上を、$(a,b)$ から距離 $t$ だけ進んだ点 (図 1) であり、 よって (3) は、 $f(x,y)$ の $\ell _\theta$ 上の値だけを見た 1 変数関数、ということになる。

図 1: $\ell _\theta$ と $P$

この $g_\theta(t)$ の微分係数を、$f(x,y)$ の $\theta$ 方向への 方向微分係数 と呼ぶ。

合成関数の微分 ([1] 定理 34.1) により、

$$g_\theta'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{d... ... f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} = f_x\cos\theta + f_y\sin\theta$$ (4)

となるから、$t=0$ とすると $P$ は $(a,b)$ となり、 仮定 (1) より、

$$g'_\theta(0) = f_x(a,b)\cos\theta + f_y(a,b)\sin\theta = 0$$

となる。

(4) をさらに微分すると、

$$\begin{eqnarray*}g_\theta''(t) &=& (f_x)'\cos\theta + (f_y)'\sin\theta \\ &=&... ...eta)\cos\theta +(f_{yx}\cos\theta + f_{yy}\sin\theta)\sin\theta\end{eqnarray*}$$

となるので、偏微分の順序交換の定理 ([1] 定理 33.1)、 および仮定 (2) より、

$$g_\theta''(0) = f_{xx}(a,b)\cos^2\theta + 2f_{xy}(a,b)\sin\theta\cos\theta + f_{yy}(a,b)\sin^2\theta$$

$$= A\cos^2\theta + 2B\sin\theta\cos\theta + C\sin^2\theta$$ (5)

となることがわかる。