2 方向微分係数

$0\leq\theta <2\pi$ に対して (実際は後で述べるように $0\leq\theta <\pi$ でよい)、

の関数 $g_\theta(t)$ を、

$\begin{displaymath} g_\theta(t) = f(a+t\cos\theta, b+t\sin\theta)\end{displaymath}$ (3)

と定める。点 $P(a+t\cos\theta, b+t\sin\theta)$ は、点

から $\theta$ 方向 (動径ベクトル $(\cos\theta,\sin\theta)$ の方向) に伸びる直線 $\ell _\theta$ 上を、

から距離

だけ進んだ点 (図 1) であり、よって (3) は、

の $\ell _\theta$ 上の値だけを見た 1 変数関数、ということになる。

**図 1:** $\ell _\theta$ と
$\includegraphics[width=0.4\textwidth]{fig1.eps}$

この $g_\theta(t)$ の微分係数を、の $\theta$ 方向への 方向微分係数 と呼ぶ。

合成関数の微分 ([1] 定理 34.1) により、

$\begin{displaymath} g_\theta'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{d... ... f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} = f_x\cos\theta + f_y\sin\theta\end{displaymath}$ (4)

となるから、

とすると

は

となり、仮定 (1) より、

$\begin{displaymath} g'_\theta(0) = f_x(a,b)\cos\theta + f_y(a,b)\sin\theta = 0 \end{displaymath}$

となる。

(4) をさらに微分すると、

$\begin{eqnarray*}g_\theta''(t) &=& (f_x)'\cos\theta + (f_y)'\sin\theta \\ &=&... ...eta)\cos\theta +(f_{yx}\cos\theta + f_{yy}\sin\theta)\sin\theta\end{eqnarray*}$

となるので、偏微分の順序交換の定理 ([1] 定理 33.1)、および仮定 (2) より、

	$\displaystyle g_\theta''(0)$	$\textstyle =$	$\displaystyle f_{xx}(a,b)\cos^2\theta + 2f_{xy}(a,b)\sin\theta\cos\theta + f_{yy}(a,b)\sin^2\theta$
		$\textstyle =$	$\displaystyle A\cos^2\theta + 2B\sin\theta\cos\theta + C\sin^2\theta$	(5)

となることがわかる。

竹野茂治＠新潟工科大学
2014年11月14日