3 関数の増分を用いた証明

次に、関数の増分を用いた証明を紹介する。 これは、ほぼ [1] で紹介したものと同様で、

$$\Delta f = f(x+\Delta x)-f(x), \hspace{1zw}\Delta g = g(x+\Delta x)-g(x)$$

と書き、これにより、 $f(x+\Delta x) = f(x)+\Delta f$, $g(x+\Delta x) = g(x)+\Delta g$ と書くことで 2 節の $f(x)g(x)$ を足して引くという 特徴的な操作を自然に見せる方法である。

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' \ =\ \lim_{\Delta x... ...\,f\,\frac{\Delta g}{\Delta x}\right)} \ =\ \frac{f'g-fg'}{g^2}\end{eqnarray*}$$

2 節の操作が、この方法だと単なる展開に変わり、 より自然な計算になる。