1 はじめに

本稿では、積の微分の証明を 2,3 紹介する。

$f=f(x)$ の導関数は、

  $$f' = f'(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ (1)

と定義される (教科書 [3] p28 上)。ここで、 $\Delta x$ は $x$ の増分 (変化)、 $\Delta f$ は、$\Delta x$ に対する $f$ の増分、 すなわち

  $$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)$$ (2)

である。 教科書は $h$ で書いてあるが、(1) の $\Delta x$ を $h$ と思えばよい。

定義 (1) は、プリントで示したように、

  $$f' = f'(x) = \lim_{t\rightarrow x}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}$$ (3)

と書くこともできる。