1 はじめに

部分積分が適用できる関数の例として 数学の教科書で良く取り上げられるものに、 多項式と指数関数の積の積分と、多項式と三角関数の積の積分がある。

これらは、1 回部分積分を行うことにより、 次数が 1 つ小さい多項式の積の積分に帰着できるため、 その多項式が定数になるまで部分積分を繰り返せば、 いずれ積分が終了する。

もちろん、これで原理的にはどんな場合でも複数回の部分積分を 実際にやれば求まることがわかり、教科書の説明は普通はこれで終わり、 $x^n$ と指数関数、$x^n$ と三角関数の積分の最終形を表す式は、 高校の教科書にも大学の本にも出てこない。

本稿では、部分積分によって漸化式を導くことで、 $x^n$ と指数関数の積、$x^n$ と三角関数の積の積分の具体的な 表現式を作成することを目標とする。