4 z からの解法

次は $z=y'-y$ に対する (3) を考えてみる。

3 節の (4) と同様に、 $z=we^{\alpha x}$ ($w=w(x)$) と おいて $w'$ を消すようにすると $\alpha = -1/2$ となり、

$$w''+\frac{3}{4} w = 0$$

となる。 (6) より、 $\beta=\sqrt{3}/2$ に対して、

$$\left\{\left(\frac{w}{\cos\beta x}\right)'\cos^2\beta x\right\}' = \left(w''+\frac{3}{4} w\right)\cos\beta x = 0$$

となることがわかり、

$$\left(\frac{w}{\cos\beta x}\right)' = \frac{C_4}{\cos^2\beta x} = \left(\frac{C_4}{\beta} \tan\beta x\right)'$$

より

$$\frac{w}{\cos\beta x} = \frac{C_4}{\beta} \tan\beta x + C_5$$

となるので、

$$w = \frac{C_4}{\beta} \sin\beta x+C_5\cos\beta x$$

となる。よって、$z=we^{-x/2}$ より

  $$z = y'-y = \frac{C_4}{\beta} e^{-x/2}\sin\beta x+C_5e^{-x/2}\cos\beta x$$ (12)

となるが、

$$e^{-x}y'-e^{-x}y = (e^{-x}y)'$$

なので、(12) の両辺を $e^{-x}$ 倍すれば、

  $$(e^{-x}y)' = \frac{2C_4}{\sqrt{3}} e^{-3x/2}\sin\beta x +C_5e^{-3x/2}\cos\beta x$$ (13)

となる。 (13) の右辺の積分は、

$$\begin{eqnarray*}\left(e^{-3x/2}\cos\beta x\right)' &=& -\,\frac{3}{2}\,e^{-3x... ...eft(\frac{3}{2}\sin\beta x -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\beta x\right)\end{eqnarray*}$$

より、

$$\begin{eqnarray*}\left(e^{-3x/2}\cos\beta x+ \sqrt{3}\,e^{-3x/2}\sin\beta x\righ... ...e^{-3x/2}\sin\beta x\right)' &=& -2\sqrt{3}e^{-3x/2}\cos\beta x\end{eqnarray*}$$

となるので、(13) は、

$$\begin{eqnarray*}(e^{-x}y)' &=& \left\{ -\,\frac{C_4}{3}\,e^{-3x/2}(\cos\bet... ....5zw} C_7 = -\,\frac{C_4}{\sqrt{3}}+\frac{C_5}{2\sqrt{3}}\right)\end{eqnarray*}$$

となり、よって (9) と同じ

$$y = C_6e^{-x/2}\cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_7e^{-x/2}\sin\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_8e^x$$

が得られる。