5 交代行列の標準形への変形

前節で見たように交代行列 $A$ の固有値を $\pm i\mu_1,\ldots,\pm i\mu_k, 0 \hspace{1zw}(\mu_j>0)$ とする。このとき定理 3.4 より、

  $$U^{-1}AU = U^{\ast}AU = \left[\begin{array}{cccccccc}% i\mu... ... \multicolumn{2}{c}{\raisebox{0ex}{\smash{\Huge$0$}}}&&&&&& 0\end{array}\right]$$ (2)

となるようなユニタリ行列 $U$ が存在する。

実は、この $U$ を用いて、(1) の標準形へ直す $Q$ が ほぼ作れるのであるが、そのために順番にその性質を見ていく。

まず、$U$ の列ベクトルを、

$$U=[\mbox{\boldmath$\alpha$}_1\ \mbox{\boldmath$\beta$}_1\ \cdots\... ...eta$}_k\ \mbox{\boldmath$\gamma$}_1\ \cdots\ \mbox{\boldmath$\gamma$}_{n-2k}]$$

と書くことにすると、これらは互いに垂直な (複素) 単位ベクトルで、

  $$A\mbox{\boldmath$\alpha$}_j = i\mu_j\mbox{\boldmath$\alpha$}_j, ... ...gamma$}_m = \mbox{\boldmath$0$} \hspace{1zw}(1\leq j\leq k,\ 1\leq m\leq n-2k)$$ (3)

となる。以下、これらを実部と虚部に分けて、

$$\mbox{\boldmath$\alpha$}_j = \mbox{\boldmath$a$}_j + i\mbox{\bold... ...1zw}\mbox{\boldmath$\gamma$}_m = \mbox{\boldmath$r$}_m+ i\mbox{\boldmath$s$}_m$$

と書くことにする。

補題 5.1

1. $\vert\mbox{\boldmath$a$}_j\vert=\vert\mbox{\boldmath$b$}_j\vert=1/\sqrt{2}$、 $\mbox{\boldmath$a$}_j\perp\mbox{\boldmath$b$}_j$ ($1\leq j\leq k$)
2. $j\neq\ell$ に対して $\mbox{\boldmath$a$}_j\perp\mbox{\boldmath$a$}_\ell$、 $\mbox{\boldmath$a$}_j\perp\mbox{\boldmath$b$}_\ell$、 $\mbox{\boldmath$b$}_j\perp\mbox{\boldmath$b$}_\ell$ ( $1\leq j,\ell \leq k$)
3. 任意の $\mbox{\boldmath$r$}\in Z_R(A)$ に対し、 $\mbox{\boldmath$r$}\perp\mbox{\boldmath$a$}_j$, $\mbox{\boldmath$r$}\perp\mbox{\boldmath$b$}_j$ ($1\leq j\leq k$)

証明

まず、 $A\mbox{\boldmath$\alpha$}_j = A\mbox{\boldmath$a$}_j+iA\mbox{\boldmath$b$}_j,\h... ...box{\boldmath$\alpha$}_j=i\mu_j\mbox{\boldmath$a$}_j-\mu_j\mbox{\boldmath$b$}_j$ より、

  $$A\mbox{\boldmath$a$}_j=-\mu_j\mbox{\boldmath$b$}_j, \hspace{1zw}A\mbox{\boldmath$b$}_j=\mu_j\mbox{\boldmath$a$}_j$$ (4)

となることに注意する。

1. $\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$y$}\in\mbox{\boldmath$R$}^n$ に対し、 $(A\mbox{\boldmath$x$},\mbox{\boldmath$y$}) =(\mbox{\boldmath$x$},\,{}^t\!{A}\mbox{\boldmath$y$}) =-(\mbox{\boldmath$x$},A\mbox{\boldmath$y$})$ なので、(4) より、

$$(A\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_j) = -\mu_j(\mbox{\... ...mbox{\boldmath$b$}_j) = -\mu_j(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$a$}_j)$$

となるから、$\mu_j>0$ より $\vert\mbox{\boldmath$a$}_j\vert=\vert\mbox{\boldmath$b$}_j\vert$ が得られる。 ここで、 $\mbox{\boldmath$\alpha$}_j$ は単位ベクトルだから、 $\Vert\mbox{\boldmath$\alpha$}_j\Vert^2=\vert\mbox{\boldmath$a$}_j\vert^2+\vert\mbox{\boldmath$b$}_j\vert^2=1$ なので、よって $\vert\mbox{\boldmath$a$}_j\vert=\vert\mbox{\boldmath$b$}_j\vert=1/\sqrt{2}$ が得られる。 また、

$$(A\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$a$}_j) = -\mu_j(\mbox{\... ...\mbox{\boldmath$a$}_j) = \mu_j(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_j)$$

となるので、$\mu_j>0$ より $(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_j)=0$ となり、 $\mbox{\boldmath$a$}_j\perp\mbox{\boldmath$b$}_j$ が得られる。

2. 仮定より、複素ベクトルとして $\mbox{\boldmath$\alpha$}_j\perp\mbox{\boldmath$\alpha_\ell$}$ なので、

$$\langle{\mbox{\boldmath$\alpha$}_j,\mbox{\boldmath$\alpha_\ell$}}... ...x{\boldmath$a$}_\ell)-(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_\ell)\}i = 0$$

より、

  $$(\mbox{\boldmath$b$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_\ell) = -(\mbox{\bold... ...l)=(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_\ell) \hspace{1zw}(j\neq\ell )$$ (5)

となる。また、1. と同様にして、(4) より、

$$(A\mbox{\boldmath$b$}_j,\mbox{\boldmath$a$}_\ell) = \mu_j(\mbox... ...ldmath$a$}_\ell) = \mu_\ell(\mbox{\boldmath$b$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_\ell)$$

となる。これに (5) を代入すると、

$$(\mu_j+\mu_\ell)(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$a$}_\ell)=0$$

となるが、 $\mu_j+\mu_\ell>0$ より $(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$a$}_\ell)=0$, そして (5) より $(\mbox{\boldmath$b$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_\ell)=0$ も言えて、 $\mbox{\boldmath$a$}_j\perp\mbox{\boldmath$a$}_\ell$, $\mbox{\boldmath$b$}_j\perp\mbox{\boldmath$b$}_\ell$ が 得られる。また、

$$(A\mbox{\boldmath$b$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_\ell) = \mu_j(\mbox... ...dmath$b$}_\ell) = -\mu_\ell(\mbox{\boldmath$b$}_j,\mbox{\boldmath$a$}_\ell)$$

となるが、これに (5) を代入すると、

$$(\mu_j+\mu_\ell)(\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_\ell)=0$$

となるので、 $\mbox{\boldmath$a$}_j\perp\mbox{\boldmath$b$}_\ell$, $\mbox{\boldmath$b$}_j\perp\mbox{\boldmath$a$}_\ell$ も言える。

3. $A\mbox{\boldmath$r$}=\mbox{\boldmath$0$}$ より、

$$0=(A\mbox{\boldmath$r$},\mbox{\boldmath$b$}_j) =-(\mbox{\boldmath$r$},A\mbox{\boldmath$b$}_j)=-\mu_j(\mbox{\boldmath$r$},\mbox{\boldmath$a$}_j)$$

となるので、$\mu_j>0$ より $(\mbox{\boldmath$r$},\mbox{\boldmath$a$}_j)=0$、よって $\mbox{\boldmath$r$}\perp\mbox{\boldmath$a$}_j$、また

$$0=(A\mbox{\boldmath$r$},\mbox{\boldmath$a$}_j) =-(\mbox{\boldmath$r$},A\mbox{\boldmath$a$}_j)=\mu_j(\mbox{\boldmath$r$},\mbox{\boldmath$b$}_j)$$

より $\mbox{\boldmath$r$}\perp\mbox{\boldmath$b$}_j$ となる。

なお、補題 5.1 は、 $\mbox{\boldmath$\alpha$}_j$ の 実部、虚部のみについて述べているが、同様のことは、 $\mbox{\boldmath$\beta$}_j$ の実部、虚部についても成り立つ。 ただし、それらは今後の議論では必要ないし、

$$A(\mbox{\boldmath$a$}_j+i\mbox{\boldmath$b$}_j)=i\mu_j (\mbox{\boldmath$a$}_j+i\mbox{\boldmath$b$}_j)$$

の両辺の共役を取れば、

$$A(\mbox{\boldmath$a$}_j-i\mbox{\boldmath$b$}_j)=-i\mu_j(\mbox{\boldmath$a$}_j-i\mbox{\boldmath$b$}_j)$$

となるので、実は $\mbox{\boldmath$\beta$}_j$ を $\mbox{\boldmath$a$}_j-i\mbox{\boldmath$b$}_j=\overline{\mbox{\boldmath$\alpha$}_j}$ と 取りかえることも可能である。

また、補題 5.1 の 3. より、 $\mbox{\boldmath$r$}_m$, $\mbox{\boldmath$s$}_m$ も $\mbox{\boldmath$a$}_j$, $\mbox{\boldmath$b$}_j$ に 垂直であることが言えることになるが、 $\mbox{\boldmath$r$}_m$, $\mbox{\boldmath$s$}_m$ も今後の議論には直接は必要ない。

さて、$A$ の固有値 0 に対する固有ベクトル $\mbox{\boldmath$\gamma$}_1,\ldots\mbox{\boldmath$\gamma$}_{n-2k}$ は $Z_C(A)$ 内の ベクトルで、互いに垂直で、よって線形独立なので $Z_C(A)$ の 次元は $(n-2k)$ 以上となる。 もし $Z_C(A)$ からさらにこれらに線形独立な $\mbox{\boldmath$\delta$}$ が とれたとすると矛盾が起きることを示す。 $\mbox{\boldmath$\alpha$}_j,\mbox{\boldmath$\beta$}_j,\mbox{\boldmath$\gamma$}_m$ は $\mbox{\boldmath$C$}^n$ の 基底なので、

$$\mbox{\boldmath$\delta$} = \sum_{j=1}^k\xi_j\mbox{\boldmath$\alp... ...a_j\mbox{\boldmath$\beta$}_j +\sum_{m=1}^{n-2k}\nu_m\mbox{\boldmath$\gamma$}_m$$

と書けるが、 $\mbox{\boldmath$\delta$}\in Z_C(A)$ と (3) より

$$A\mbox{\boldmath$\delta$} = \sum_{j=1}^ki\mu_j\xi_j\mbox{\boldma... ...ha$}_j -\sum_{j=1}^ki\mu_j\eta_j\mbox{\boldmath$\beta$}_j =\mbox{\boldmath$0$}$$

となる。 $\mbox{\boldmath$\alpha$}_j$, $\mbox{\boldmath$\beta$}_j$ は線形独立だから $\xi_j=\eta_j=0$ となり、よって

$$\mbox{\boldmath$\delta$}=\sum_{m=1}^{n-2k}\nu_m\mbox{\boldmath$\gamma$}_m$$

となるが、これは $\mbox{\boldmath$\gamma$}_m$ ( $1\leq m\leq n-2k$), $\mbox{\boldmath$\delta$}$ が線形独立、という仮定に矛盾する。 よって、$Z_C(A)$ にはこれ以上線形独立なベクトルを取ることはできず、 $Z_C(A)$ の次元は $(n-2k)$ となることがわかる ( $\mbox{\boldmath$\gamma$}_m$ が正規直交基底)。

よって補題 4.1 より $Z_R(A)$ の次元も $(n-2k)$ となり、 その $(n-2k)$ 個の実ベクトルからなる正規直交基底 $\mbox{\boldmath$u$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$u$}_{n-2k}$ を取ることができる (これは $\mbox{\boldmath$\gamma$}_m$ の代わりの $Z_C(A)$ の正規直交基底にもなる)。

また、補題 5.1 の 1.,2. より、 $\mbox{\boldmath$\hat{a}$}_j = \sqrt{2}\,\mbox{\boldmath$a$}_j,\ \mbox{\boldmath$\hat{b}$}=\sqrt{2}\,\mbox{\boldmath$b$}_j$ ($1\leq j\leq k$) の $2k$ 個の 実ベクトルは互いに垂直な単位ベクトルとなる。 よって、補題 5.1 の 3. より、$n$ 個のベクトル

$$\mbox{\boldmath$\hat{a}$}_j, \ \mbox{\boldmath$\hat{b}$}_j,\ \mbox{\boldmath$u$}_m\ (1\leq j\leq k,\ 1\leq m\leq n-2k)$$

は、互いに垂直な単位ベクトルで、

  $$A\mbox{\boldmath$\hat{a}$}_j = -\mu_j\mbox{\boldmath$\hat{b}$}_j... ...th$u$}_m = \mbox{\boldmath$0$} \hspace{1zw}(1\leq j\leq k,\ 1\leq m\leq n-2k)$$ (6)

を満たす。よって、

$$Q=[\mbox{\boldmath$\hat{a}$}_1\ \mbox{\boldmath$\hat{b}$}_1\ \cdo... ...ldmath$\hat{b}$}_k\ \mbox{\boldmath$u$}_1\ \cdots\ \mbox{\boldmath$u$}_{n-2k}]$$

とすれば、$Q$ は直交行列で、(6) より (1) の $S_0$ に対して $AQ = QS_0$ と なることがわかる。 これで、交代行列の標準形 $S_0$ への変形が、 各固有ベクトルを元にして作れることがわかった。