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4 $\infty$ への発散

ついでに、$\infty$ への発散

$$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \infty$$

も定義してみる。この場合は、

$n$ が大きくなるとき、$a_n$ の値は限りなく大きくなる

ということを意味していて、「限りなく大きくなる」とは 「大きくなる度合いに際限がない」「いくらでも大きくなる」 ということを意味する。例えば次のような数列は限りなく大きくなる。

$$1^2,2^2,3^2,\ldots,n^2,\ldots$$

しかし、次のような数列は「限りなく大きく」はならない。

• $1/2$, $2/3$, $3/4$, ..., $n/(n+1)$,...
• $1^2,2^2,0,4^2,5^2,0,\ldots,(3n+1)^2,(3n+2)^2,0,\ldots$

上の方の例は、だんだん大きくはなっているが、1 より大きくなることはないし、 また、下の方の例は、全部そろって大きくなっているわけではなく、飛び飛びに 大きくないものが含まれている。これらは「いくらでも大きくなる」とはいいがたい。

よって、「限りなく大きくなる」$\infty$ への発散は、次のように定義される。

定義 3

$$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = \infty$$

とは、どんな正の数 $K$ ($>0$) を取っても、

$n>N$ ならば $a_n>K$

となるような $N$ を取ることができること、を意味する。

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