1 はじめに

講義では、教科書にある 2 乗、3 乗の展開の公式のほかに、 教科書には載っていない一般の $n$ 乗の展開公式である二項定理

  $$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n{}_{n}C_{k}a^{n-k}b^k = {}_{n}C_{0}a^n + {}_{n}C_{1}a^{n-1}b + {}_{n}C_{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + {}_{n}C_{n}b^n$$ (1)

を紹介したが、本稿でその証明を紹介する。 また、因数分解の公式として、教科書には

  $$\left\{\begin{array}{ll} a^2-b^2 &= (a-b)(a+b)\\ a^3-b^3 &= (a-b)(a^2+ab+b^2)\\ a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \end{array}\right.$$ (2)

があがっていたが、その一般化として、 $a^n-b^n$, $a^n+b^n$ の因数分解についても考える。