7 最後に

本稿では、ラプラス変換できる関数の拡張、やラプラス変換の収束点の 存在の証明、ラプラス変換の単射性の証明について考察した。

変換できる関数の拡張については、工学の本では通常 $IPC$ の範疇で しか書いてないものを $IPR$ や $ILM$ に広げて考えたが、 その拡張によって、普通に成立するような公式が、条件をつけないと 成立しなくなるものもあるだろうから、 必ずしも広げればよいというわけでもない。

また、$ILM$ に含まれない $IPR$ の元を扱う必要は 多分ほとんどないような気もするので、 普通は $IPC$ か $ILM$ で足りるだろうと思う。 しかし工学者に取っては「ルベーグ積分」はしきいが高いので、 むしろ $ILM$ より $IPR$ の方がなじみ易いかもしれない。

収束点や単射性については、前述のようにその証明はそれほど ポピュラーではないようなので、その保証を与える意味では 本稿も多少は意味があるかもしれないが、 $IPR$ のような煩雑な証明は話をわかりにくくしてしまったかもしれない。 なんなら $IPR$ の話はとばして、$IPC$ と $ILM$ のものだけ 見てもらうだけでもよいと思う。

なお、ラプラス変換に関する授業では、特に単射の方は やはり証明を紹介する時間はなさそうに感じる。