6 最後に

本稿では、 $1/(s^2+1)^{k+1}$, $s/(s^2+1)^{k+1}$ のラプラス逆変換と 半ベッセル関数の関係を紹介し、具体例を計算し、その拡張である $1/(s^2+1)^{p+1}$, $s/(s^2+1)^{p+1}$ のラプラス逆変換のベッセル関数 による表現式も証明した。

それにより、これらもラプラス変換表の一部として紹介できるようになり、 また、分子の次数が分母の次数より小さい有理関数のラプラス逆変換は、 原則部分分数分解により、指数関数、$t$ の自然数乗と半ベッセル 関数 (の分子部分に出る三角関数と多項式との積の和) で容易に表せる ことがわかった。

工学者向けには、[1] のような計算の方針を示すやり方よりも、 本稿のような半ベッセル関数、または $(-t^{-1}d/dt)^k$ による 1 本の 式での表現の方がむしろ適切かもしれないので、そういう点では本稿も 意味があるかもしれないが、 ベッセル関数のラプラス変換自体は昔から知られているものなので、 もしかしたらラプラス変換を使う工学者には既に良く知られた事実で ある可能性も高い。となると、本稿は証明を示しているところ以外は それほど意味はないかもしれない。