5 ｘ→＋０ の評価

次は、$H_{-}$ の $x\rightarrow +0$ の評価を考える。 なお、この場合は $\gamma<-1$ の拡張版に対しても考える必要がある。

まず、$\gamma>-1$ の場合を考える。 この場合は、以下の反転公式が利用できる。

補題 3 ($H_{+}$ と $H_{-}$ の反転公式)

$\gamma>-1$, $\alpha>0$ に対し次が成り立つ。

  $$H_{-}(x;\alpha,\beta,\gamma) =x^{\alpha+\beta+\gamma-1}H_{+} \left(\frac{1}{x};\alpha,\gamma+1,\beta-1\right)$$ (18)

証明

$y=xt$ の置換積分により、

$$\begin{eqnarray*}H_{-}(x;\alpha,\beta,\gamma) &=& x^{\alpha+\gamma}\int_0^1 t^... ...lpha-1}(1-t)^{\gamma} \left(\frac{1}{x}\,-t\right)^{\beta-1}dt \end{eqnarray*}$$

となって得られる。

この補題 3 と前節の評価 (17) により、 $\gamma>-1$ のときは $x\rightarrow +0$ に対して

	$$H_{-}(x;\alpha,\beta,\gamma)$$	$=$	$$x^{\alpha+\beta+\gamma-1}\left(\frac{1}{x}\right)^{\beta-1} (B(\alpha,\gamma+1)+o(1))$$
		$=$	$$x^{\alpha+\gamma}(B(\alpha,\gamma+1)+o(1))$$	(19)

となる。

次は $\gamma<-1$ の場合を考える。 まずは、 $P=\alpha+\gamma\not\in\mbox{\boldmath$Z$}$ と仮定する。 ここで、 $\mbox{\boldmath$Z$}$ は整数全体の集合とする。 この場合、 $\gamma=[\gamma]+(\gamma)=-m+(\gamma)$ とすると $m$ は 2 以上の整数で、 $\gamma+m-1=(\gamma)-1\in(-1,0)$ となるので 補題 2 を用いて $m-1$ 回リフティングすると、

  $$[0,0,0]_{-}=\frac{1}{x^{m-1}}\sum_{j=0}^{m-1}\mu^{m-1}_j[j,-j,m-1]_{-}$$ (20)

となるが、(19) より

  $$[j,-j,m-1]_{-} = x^{\alpha+j+\gamma+m-1}(B(\alpha+j,\gamma+m)+o(1))$$ (21)

となり、また係数 $\mu^{m-1}_{j}$ は

  $$\mu^{m-1}_j = (-1)^j\frac{\displaystyle \left(\begin{array}{c}... ...e \left(\begin{array}{c} \!\!\gamma+m-1\!\! \\ \!\!m-1\!\! \end{array}\right)}$$ (22)

で、 $\beta,P\not\in\mbox{\boldmath$Z$}$ より 0 にはならないので、 (20), (21) より $j=0$ の項が 最低次になり、よって

  $$[0,0,0]_{-} =x^{\alpha+\gamma}(\mu^{m-1}_{0}B(\alpha,\gamma+m)+o(1))$$ (23)

となる。

ここで、 $\mathop{\mathit{\Gamma}}$ 関数と $\mathop{\mathit{B}}$ 関数の拡張 (解析接続) を考える。 $\mathop{\mathit{\Gamma}}$ 関数、 $\mathop{\mathit{B}}$ 関数は通常は

	$$\mathop{\mathit{\Gamma}}(x)$$	$=$	$$\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt \hspace{1zw}(x>0),$$	(24)
	$$\mathop{\mathit{B}}(x,y)$$	$=$	$$\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt \hspace{1zw}(x>0, y>0)$$	(25)

と定義されるが、これらは

  $$\mathop{\mathit{\Gamma}}(x+1)=x\mathop{\mathit{\Gamma}}(x), \hs... ...{\mathit{\Gamma}}(x)\mathop{\mathit{\Gamma}}(y)}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(x+y)}$$ (26)

という性質を持ち、逆にこれにより $H_{-}$ と同様に、 $x\not\in\mbox{\boldmath$Z$}$ であれば $x<0$ に対しても $\mathop{\mathit{\Gamma}}(x)$ は

$$\mathop{\mathit{\Gamma}}(x)=\frac{\mathop{\mathit{\Gamma}}(x+1)}{x}$$

によって拡張でき、 $x,y\not\in\mbox{\boldmath$Z$}$ であれば $x<0$, $y<0$ に 対しても $\mathop{\mathit{B}}(x,y)$ は (26) により 拡張できる。なお、これらの拡張は「解析接続」としてよく知られている。 また、以後

$$\begin{eqnarray*}\Perm{p}{n} &=& n!\left(\begin{array}{c} \!\!p\!\! \\ \!\!n\!\! \end{array}\right) = p(p-1)(p-2)\cdots (p-n+1)\end{eqnarray*}$$

の記号も用いる。

これらを利用すれば (23) の係数は、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\mu^{m-1}_{0}B(\alpha,\gamma+m) = \frac{\displaystyl... ...}(\alpha+\gamma+1)} \\ &=& \mathop{\mathit{B}}(\alpha,\gamma+1)\end{eqnarray*}$$

と書けることになり、 よって、$\gamma<-1$ で $P=\alpha+\gamma\not\in\mbox{\boldmath$Z$}$ ならば

  $$[0,0,0]_{-} =x^{\alpha+\gamma}(B(\alpha,\gamma+1)+o(1))$$ (27)

となり、式の上では $\gamma>-1$ の場合の (19) と 同形となる。

次は $\gamma<-1$, $P=\alpha+\gamma\in\mbox{\boldmath$Z$}$ の場合を考える。 まず、$P\geq 0$ ならば、 $P\not\in\mbox{\boldmath$Z$}$ の場合の計算の (22) の $\mu^{m-1}_j$ は、$m\geq 2$ より 0 には ならないので $P\not\in\mbox{\boldmath$Z$}$ の場合の議論がそのまま使えて、 $\alpha+\gamma+1=P+1\geq 1$ よりやはり (27) が 成立することになる。よって、あとは $P<0$ の場合を考えればよい。

$k=-P\in\mbox{\boldmath$Z$}$ とすると $k\geq 1$ で、 $k=-\alpha-\gamma=-\alpha+m-(\gamma)\leq m-1$ なので、$\mu^{m-1}_j$ は

$$\left(\begin{array}{c} \!\!P+m-1\!\! \\ \!\!m-1-j\!\! \end{array... ...ht) =\left(\begin{array}{c} \!\!m-k-1\!\! \\ \!\!m-j-1\!\! \end{array}\right)$$

を含んでいるため $0\leq j\leq k-1$ に対しては 0 になり、 それ以外の $j$ に対しては 0 ではない。よって、

$$\begin{eqnarray*}[0,0,0]_{-} &=& \frac{1}{x^{m-1}}\sum_{j=k}^{m-1}\mu^{m-1}_j[... ...\\ &=& x^{\alpha+k+\gamma}(\mu^{m-1}_kB(\alpha+k,\gamma+m)+o(1))\end{eqnarray*}$$

となるが、 $\alpha+k+\gamma=P+k=0$ となるので $(\alpha)+(\gamma)=1$ で、

  $$[0,0,0]_{-} = \mu^{m-1}_kB(\alpha+k,\gamma+m)+o(1)$$ (28)

となる。ここで、 $P=\alpha+\gamma=-k\in\mbox{\boldmath$Z$}$ より、

$$\gamma+m = (\gamma) = 1-(\alpha), \hspace{1zw}\alpha+k = -\gamma = -[\gamma]-(\gamma) = m-1+(\alpha)$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\mu^{m-1}_kB(\alpha+k,\gamma+m)} \\ &=& (-1)^k\frac{... ...!\! \\ \!\!m-1\!\! \end{array}\right)\mathop{\mathit{\Gamma}}(m)}\end{eqnarray*}$$

となるが、

$$\left(\begin{array}{c} \!\!-(\alpha)\!\! \\ \!\!m-1\!\! \end{arr... ...\left(\begin{array}{c} \!\!m+(\alpha)-2\!\! \\ \!\!m-1\!\! \end{array}\right)$$

であり、

$$\frac{\mathop{\mathit{\Gamma}}(m-1+(\alpha))}{\displaystyle \left... ...mma}}((\alpha)) =\mathop{\mathit{\Gamma}}(m)\mathop{\mathit{\Gamma}}((\alpha))$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*}\mu^{m-1}_kB(\alpha+k,\gamma+m) &=& (-1)^{m-1+k}\left(\begin{... ...!k\!\! \end{array}\right)\mathop{\mathit{B}}((\alpha),1-(\alpha))\end{eqnarray*}$$

となる。ここで、$m-1-k$ は

$$m-1-k=-[\gamma]-1+\alpha+\gamma=(\gamma)-1+\alpha=\alpha-(\alpha) =[\alpha]$$

と表すことができる。

以上をまとめると、 $x\rightarrow +0$ の場合は、

  $$H_{-}(x;\alpha,\beta,\gamma) =\left\{\begin{array}{l} x^{\alph... ...e{1zw}(\mbox{$P=-k\in\mbox{\boldmath$Z$}$, $k\geq 1$\ のとき}) \end{array}\right.$$ (29)

となる。

よって、$x=0$ の近くでは、 $P=\alpha+\gamma\not\in\mbox{\boldmath$Z$}$ の場合は、 $P>-1$ のとき、 $P\in\mbox{\boldmath$Z$}$ の場合はすべての場合で $H_{-}$ は 可積分となり、 また $P=\alpha+\gamma\not\in\mbox{\boldmath$Z$}$ の場合は、$P>0$ のとき、 $P\in\mbox{\boldmath$Z$}$ の場合はすべての場合で $H_{-}$ は有界となる。