1 はじめに

[2] では、等エントロピー的な気体の 1 次元運動方程式に対する 補償コンパクト性理論による弱解の存在証明について、 $\tau$ が整数である場合の従来の方法 [3] の一つの 簡略化を示した。 ここで、$\tau$ は、気体の断熱定数 $\gamma$ ($1<\gamma<3$) に 対して、

  $$\tau = \frac{3-\gamma}{2(\gamma-1)}$$ (1)

によって決まる正の定数。

$\tau$ が非整数の場合は、Darboux の公式によってあたえられる 一般化エントロピーの分数階微分の計算、評価によって、 補償コンパクト性理論により [4],[5],[6] 等で 弱解の存在証明が得られているが、$\tau$ が整数の場合に対して それは格段に難しく複雑である。

その一般化エントロピーは、 以下のような関数 $F_\ell(x)$ を用いて構成される。

  $$F_\ell(x)=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \int_0^1 y^{\t... ...1-y)^\tau(x-y)^{-(\tau)}dy & (0<x<1) \end{array}\right. \hspace{1zw}(\ell=0,1)$$ (2)

ここで $(\tau)$ は $\tau$ の小数部分を意味する。

[2] を $\tau$ が非整数な場合に拡張、 すなわち [4],[5],[6] の証明の簡略化を行うには、 $F_\ell$ の $[\tau]+2$ 階までの導関数、 およその $x\rightarrow +0$, $x\rightarrow 1\pm 0$, $x\rightarrow \infty$ の 極限とその収束 order の評価が必要になる。

本稿では、(2) を少し一般化した以下の関数を考える。

	$$H_{+}(x;\alpha,\beta,\gamma)$$	$=$	$$\int_0^1 y^{\alpha-1}(1-y)^{\beta-1}(x-y)^{\gamma}dy \hspace{1zw}(x>1,\alpha>0,\beta>0)$$	(3)
	$$H_{-}(x;\alpha,\beta,\gamma)$$	$=$	$$\int_0^x y^{\alpha-1}(1-y)^{\beta-1}(x-y)^{\gamma}dy$$
			$$\hspace{1zw}(0<x<1,\alpha>0,\gamma>-1)$$	(4)

ここで、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ はいずれも整数ではないとする。 (3), (4) の条件を満たす $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ についてはこれらの積分は収束し、 $H_{\pm }$ により (2) の $F_\ell$ は

$$F_\ell(x)=\left\{\begin{array}{ll} H_{+}(x;\tau+\ell+1,\tau+1,-(\tau)) & (x>1)\\ H_{-}(x;\tau+\ell+1,\tau+1,-(\tau)) & (0<x<1)\end{array}\right.$$

と表される。

この $H_{\pm}(x;\alpha,\beta,\gamma)$ は変数変換により、 いわゆる超幾何関数 (hyper geometric function)

	$$F(a,b,c;z)$$	$=$	$$\frac{\mathop{\mathit{\Gamma}}(c)}{\mathop{\mathit{\Gamma}}(b)\mathop{\mathit{\Gamma}}(c-b)} \int_0^1t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-tz)^{-a}dt$$
			$$\hspace{1zw}(c>b>0,\ \vert z\vert<1)$$	(5)

を用いて表すことも可能であり、実際に

	$$H_{+}(x;\alpha,\beta,\gamma)$$	$=$	$$x^\gamma\int_0^1y^{\alpha-1}(1-y)^{\beta-1} \left(1-\,\frac{y}{x}\right)^\gamma dy$$
		$=$	$$\frac{\mathop{\mathit{\Gamma}}(\alpha)\mathop{\mathit{\Gamma}}(\b... ...}}(\alpha+\beta)}x^\gamma F\left(-\gamma,\alpha,\alpha+\beta;\frac{1}{x}\right)$$
			$$\hspace{1zw}(x>0,\ \alpha>0,\ \beta>0),$$	(6)
	$$H_{-}(x;\alpha,\beta,\gamma)$$	$=$	$$x^{\alpha+\gamma}\int_0^1t^{\alpha-1}(1-xt)^{\beta-1} (1-t)^\gamma dt\hspace{1zw}(y=xt)$$
		$=$	$$\frac{\mathop{\mathit{\Gamma}}(\alpha)\mathop{\mathit{\Gamma}}(\g... ...Gamma}}(\alpha+\gamma+1)} x^{\alpha+\gamma} F(1-\beta,\alpha,\alpha+\gamma+1;x)$$
			$$\hspace{1zw}(0<x<1,\alpha>0,\gamma>-1)$$	(7)

のようになる。 ただし、超幾何関数の性質、漸近性はあまり一般的に知られている わけではないし、(6), (7) の形は それほど解析が易しいわけでもない。

よって本稿では、超幾何関数に関する既知の結果を用いず、 (3), (4) の形の $H_{+}$, $H_{-}$ のままで [2] の拡張のために必要となる性質や、 境界への極限とその収束 order などを考察する。