5 1 単位分の解

前節の結果を用いて、有界変動でない初期値に対する解の例を構成する、 1 単位分の解を作る。それは、初期値

  $$u_0(x)=\bar{u}_0(x;\delta,A,H) =\left\{\begin{array}{ll} A+H &... ...A & (-\delta<x<0)\\ A+H & (0<x<\delta)\\ A & (\delta<x) \end{array}\right.$$ (26)

に対するエントロピー解 $u=u(t,x;\delta,A,H)$ である。 ここで、$\delta>0$, $H>0$ であり、$[A,A+H]$ は $f$ の定義域に含まれると する。

小さい $t>0$ では、初期値から $S_1=S(A+H,A;0,-\delta)$, $R_2=R(A,A+H;0)$, $S_3=S(A+H,A;0,\delta)$ が生成し、 それらが先の $t$ で衝突して大域的なエントロピー解が構成されることになる。

左側では $S_1$ と $R_2$ が $(T_1,X_1)$ で衝突して $x=\sigma_1(t)$ の 曲線衝撃波 $S_4$ が発生し、 右側では $R_2$ と $S_3$ が $(T_2,X_2)$ で衝突して $x=\sigma_2(t)$ の 曲線衝撃波 $S_5$ が発生し、 そして $x=\sigma_1(t)$ と $x=\sigma_2(t)$ が $(T_3,X_3)$ で衝突し、 そこから $S_6=S(A+H,A;T_3,X_3)$ の衝撃波が発生する (図 4)。

図 4: 一単位分の解

$S_1$, $S_3$, $S_6$ は、左右の $u$ がいずれも $A+H$, $A$ なので、 同じ速度の衝撃波であることに注意する。