2 膨張波、衝撃波

局所的に可積分な初期値 $u_0(x)\in L^1_{loc}(\mbox{\boldmath$R$})$ と $t>0$ で局所的に可積分な $u(t,x)\in L^1_{loc}((0,\infty)\times\mbox{\boldmath$R$})$ が (1) の 弱解であるとは、コンパクト台を持つ任意の $C^1$ 関数 $\phi(t,x)\in C_0^1([0,\infty)\times\mbox{\boldmath$R$})$ に対し、

  $$\int\!\!\int _{t>0}\{\phi_t u+\phi_x f(u)\}dtdx +\int_{\mbox{\boldmath\scriptsize$R$}}\phi(0,x)u_0(x)dx = 0$$ (2)

を満たすことで、 さらにエントロピー解であるとは、弱解でかつエントロピー条件を満たすこと。

エントロピー条件には、同値な条件がいくつか存在するが、 本稿では主に区分的に $C^1$ な弱解のみを考察するため、 Oleinik 条件

  $$\frac{u(t,x+h)-u(t,x)}{h} <\frac{E}{t}$$ (3)

を、任意の $t>0,x,h>0$ に対して満たすような有限値 $E$ が取れること、 をあげておくが、あとで別のエントロピー条件である Lax 条件もでてくる。

エントロピー解として代表的なのは、リーマン問題と呼ばれる初期値問題

  $$u_0(x) = \left\{\begin{array}{ll} u_{-} & (x<a)\\ u_{+} & (x>a) \end{array}\right. \hspace{1zw}(u_{-},u_{+}:\ \mbox{定数})$$ (4)

に対する解である膨張波 $R=R(u_{-},u_{+})$ と衝撃波 $S=S(u_{-},u_{+})$ で ある。

$u_{-}<u_{+}$ のときは、(4) のエントロピー解は 連続で区分的に滑らかな膨張波

  $$u(t,x) = \left\{\begin{array}{ll} u_{-} & (x-a<f'(u_{-})t)\\ ... ..._{-})t\leq x-a<f'(u_{+})t)\\ u_{+} & (f'(u_{+})t\leq x-a) \end{array}\right.$$ (5)

となる。ここで、$v=v(\xi)$ は、

  $$v(\xi) = (f')^{-1}(\xi)$$ (6)

であり、$f''(u)>0$ より $f'$ は単調増加なので、$v(\xi)$ は一価関数となる。 この解 (5) を $R(u_{-},u_{+};a)$ と 書くことにする (図 1 左)。

図 1: 膨張波 $R(u_1,u_2;a)$ と衝撃波 $S(u_1,u_2;0,a)$

$u_{-}>u_{+}$ のときは、不連続が直線的に進行する衝撃波

  $$u(t,x) = \left\{\begin{array}{ll} u_{-} & (x-a<st)\\ u_{+} & (st<x-a) \end{array}\right.$$ (7)

となる。ここで、衝撃波速度 $s$ は、Rankine-Hugoniot 条件

  $$s = \frac{f(u_{-})-f(u_{+})}{u_{-}-u_{+}}$$ (8)

から決定する (図 1 右)。 なお、膨張波は (5) を $t$ 方向に移動したものは Oleinik 条件を満たさないため現れないが、 衝撃波は (7) を $t$ 方向に移動したもの

  $$u(t,x) = \left\{\begin{array}{ll} u_{-} & (x-a<s(t-t_0))\\ u_{+} & (s(t-t_0)<x-a) \end{array}\right. \hspace{1zw}(t>t_0)$$ (9)

も出てくるので、これを $S(u_{-},u_{+};t_0,a)$ と書くことにする。

また、一般にエントロピー解 $u(t,x)$ がある曲線 $x=\sigma(t)$ に沿って 第一種不連続である場合は、Rankine-Hugoniot 条件

  $$f(u(t,\sigma(t)-0))-f(u(t,\sigma(t)+0)) =\sigma'(t)(u(t,\sigma(t)-0)-u(t,\sigma(t)+0)$$ (10)

と、Lax 条件

  $$f'(u(t,\sigma(t)-0))>\sigma'(t)>f'(u(t,\sigma(t)+0))$$ (11)

を満たす必要がある。 これにより、不連続箇所では必ず ジャンプダウン $u(t,\sigma(t)-0)>u(t,\sigma(t)+0)$ でなければ いけないことになる。(8) はこの条件を満たしているし、 逆に (8) がこの条件を満たすのが $u_{-}>u_{+}$ のとき、 ということになっている。

なお、非粘性バーガース方程式と呼ばれる $f(u)=u^2/2$ の場合には、 膨張波の $v$ は $v(\xi)=\xi$ で、衝撃波速度 (8) は、

$$s = \frac{u_{-}+u_{+}}{2}$$

となる。

(5) の膨張波と (9) の衝撃波を 合わせて単純波と呼ぶが、 後で (10) と (11) を満たす、 直線的ではない不連続性も現れる。 そのような不連続性も本稿では衝撃波と呼ぶことにする。