3.9 $Q$ の評価: [S-3] の場合

$Q$ の評価の残りは、[S-3] の場合である (p131 Figure 7.9)。 この場合は $\sigma_k$ は $\sigma''_j$ と $\sigma_{np}$ なので、

$$Sw(\sigma''_j;\tau+) = Sw(\sigma''_j;\tau-) - \vert\sigma'_{np}\... ...ace{1zw} Sw(\sigma_{np};\tau+) = Sw(\sigma'_{np};\tau-) - \vert\sigma''_j\vert$$

となり、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{Q(\tau+) - Q(\tau-)} \ &=& \vert\sigma''_j\vert Sw(... ...ert u_r-\tilde{u}_r\vert-\vert u_m-u_l\vert)Sw(\sigma_{np};\tau+)\end{eqnarray*}$$

となるので、Lemma 7.2 (iv) より、

$$\begin{eqnarray*}Q(\tau+) - Q(\tau-) &\leq& -\vert\sigma'_{np}\sigma''_j\vert ... ...sigma'_i\sigma''_j\vert +C\vert\sigma'_i\sigma''_j\vert V(\tau-)\end{eqnarray*}$$

となって (7.56') が得られる。

これで、すべての場合で (7.56') が成り立つことが示されたことになる。