2 基本事項

証明のおおまかな流れや用語、記号等の多くは、前の報告 [3] と ほぼ同じなので省略し、本稿ではそれとは違う部分のみを解説するが、 基本事項を本節でまとめて紹介する。

理想気体の 1 次元等エントロピー流の方程式は、

  $$\left\{\begin{array}{l} \rho_t + (\rho u)_x = 0,\\ (\rho u)_t + (\rho u^2 + P(\rho))_x = 0 \end{array}\right.$$ (1)

である。ここで、$t$ ($>0$) は時刻、$x$ ( $\in\mbox{\boldmath$R$}$) は位置、 $\rho=\rho(t,x)$, $u=u(t,x)$ が未知関数で、 $\rho$ ($\geq 0$) は気体の密度、$u$ は気体の速度、 $P=P(\rho)=A\rho^\gamma$ は気体の圧力、$A,\gamma$ は定数で、 $A>0$, $1<\gamma<3$ である。

未知関数 $(\rho,u)$ は、リーマン不変量

$$w= u+\frac{\sqrt{A\gamma}}{\theta}\rho^\theta, \hspace{1zw}z= u-\... ...\gamma}}{\theta}\rho^\theta \hspace{1zw}\left(\theta=\frac{\gamma-1}{2}\right)$$

に置き換えて考えることが良く行われる ($w\geq z$)。

一般化エントロピー対 $(\eta,q)$ は、$(\rho,u)$ (または $(w,z)$) の 関数で、次の方程式を満たすもの。

  $$\left\{\begin{array}{ll} q_\rho & \displaystyle = u\eta_\rho+\f... ...)}{\rho}\,\eta_u,\\ [0.5zh] q_u &= \rho\eta_\rho + u\eta_u \end{array}\right.$$ (2)

これは、(1) の滑らかな解 $(\rho,u)$ に対しては、 常に

  $$\eta(\rho,u)_t+q(\rho,u)_x=0$$ (3)

となる条件として得られるものである。 $\eta$ をエントロピー、$q$ をエントロピー流束と呼ぶ。 (2) を $(w,z)$ で書けば以下のようになる。

  $$\left\{\begin{array}{ll} q_w & = \lambda_2\eta_w,\\ q_z & = \lambda_1\eta_z \end{array}\right.$$ (4)

ここで $\lambda_1, \lambda_2$ は

$$\lambda_1 = u-\sqrt{A\gamma}\rho^\theta = \frac{1-\theta}{2}w +... ..._2 = u+\sqrt{A\gamma}\rho^\theta = \frac{1+\theta}{2}w + \frac{1-\theta}{2}z$$

であり、(1) の準線形双曲型方程式としての係数行列の 固有値である。

方程式 (4) を満たす一般化エントロピーの中で、 Tartar 方程式の解法で使われるのが Darboux の公式として与えられる エントロピーで、本稿ではそれを Darboux エントロピーと呼ぶ。

  $$\left\{\begin{array}{ll} \eta &= \displaystyle \int_z^w\{(w-s)(... ...splaystyle -\theta\int_z^w(w-s)^{\tau+1}(s-z)^\tau\phi(s)ds \end{array}\right.$$ (5)

ここで、$\phi(s)$ は任意の滑らかな関数、$\tau$ は定数で、

  $$\tau = \frac{3-\gamma}{2(\gamma-1)} >0$$ (6)

である。DiPerna の [5]、 そして以前の考察 [3] では、この $\tau$ が自然数の場合、 すなわち $\gamma=1+2/(2n+1)$ の場合を扱っているが、 本稿ではこの $\tau$ が非整数の場合を考える。

Tartar 方程式とは、方程式 (1) の近似解の極限を 記述する Young 測度の族
$\{\nu_{(t,x)}(\rho,u)\}_{\{(t,x);\ t>0,\ x\in\mbox{\scriptsize\boldmath$R$}\}}$ に対するもので、 任意の一般化弱エントロピー対 $(\eta,q),\\ (\hat{\eta},\hat{q})$ に対して成立する以下の式を指す。

  $$\langle\eta\hat{q}-\hat{\eta}q\rangle = \langle\eta\rangle \langle\hat{q}\rangle -\langle\hat{\eta}\rangle \langle q\rangle$$ (7)

ここで、 $\langle f(\rho,u)\rangle$ は、確率測度 $\nu_{(t,x)}(\rho,u)$ での積分

$$\langle f(\rho,u)\rangle = \langle\nu_{(t,x)}(\rho,u),f(\rho,u)\rangle = \int f(\rho,u)d\nu_{(t,x)}(\rho,u)$$

を意味する。この方程式 (7) を満たす Young 測度 $\nu_{(t,x)}(\rho,u)$ が $(\bar{\rho}(t,x),\bar{u}(t,x))$ 中心の $\delta$ 測度、すなわち

$$\langle f\rangle = \langle\delta(\rho-\bar{\rho}(x,t),u-\bar{u}(x,t)),f(\rho,u)\rangle = f(\bar{\rho}(t,x),\bar{u}(t,x))$$

となることを示すのが目標である。 なお、この Tartar 方程式も、本稿では $(\rho,u)$ の代わりに 主に $(w,z)$ で考える。