4.11 バロトロピックのラグランジュ座標系の場合

バロトロピックのラグランジュ座標系の場合は、ランキン-ユゴニオ条件は

$$\begin{array}{l} \tilde{s}[\tilde{v}]=-[\tilde{u}],\\ \tilde{s}[\tilde{u}]=[\tilde{P}(\tilde{v})] \end{array}$$

となるので、$\tilde{s}$ を消去すると

$$-[\tilde{u}]^2=[\tilde{v}][\tilde{P}]$$

よって、

$$\begin{eqnarray*}\tilde{u} &=& \tilde{u}_0\pm\sqrt{-[\tilde{v}][\tilde{P}]} ... ... \tilde{u}_0\pm(\tilde{v}_0-\tilde{v})f_2(\tilde{v};\tilde{v}_0)\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$\tilde{V}_{\pm}(\tilde{v}) =\left[\begin{array}{c}\tilde{v}\... ...{v}-\tilde{v}_0) f_2(\tilde{v};\tilde{v}_0)\end{array}\right]$$

とすると、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{f_2(\tilde{v};\tilde{v}_0) = \left\{-\tilde{P}'(\til... ..._0}(\tilde{v}-\tilde{v}_0) +O((\tilde{v}-\tilde{v}_0)^2)\right\}\end{eqnarray*}$$

となるので、

$$\begin{eqnarray*}\tilde{V}_{\pm}(\tilde{v}_0) &=& \tilde{U}_0, \\ \tilde{V}... ...tilde{P}''_0/\left(2\sqrt{-\tilde{P}'_0}\right)\end{array}\right]\end{eqnarray*}$$

となる。

$$\begin{eqnarray*}\nabla_{\tilde{U}}r_j\cdot r_j &=& \nabla_{\tilde{U}}\left[\b... ...\pm\tilde{P}''/\left(2\sqrt{-\tilde{P}'}\right)\end{array}\right]\end{eqnarray*}$$

なので、

$$\tilde{U}_j(\delta)=\tilde{V}_{\pm}(\tilde{v}_j(\delta)), \h... ...ce{1zw} \tilde{v}_j'(0)=\mp 1, \hspace{1zw} \tilde{v}_j''(0)=0$$

とすれば、

$$\tilde{U}_j(0)=\tilde{U}_0, \hspace{1zw} \tilde{U}_j'(0)=r_j... ...\tilde{U}_j''(0)=(\nabla_{\tilde{U}}r_j\cdot r_j)(\tilde{U}_0)$$

となる。

$\tilde{s}$ は

$$\tilde{s}=-\frac{[\tilde{u}]}{[\tilde{v}]}=\pm f_2(\tilde{v};\tilde{v}_0)$$

より、

$$\frac{d \tilde{s}}{d \delta}\Big\vert _{\delta=0} = \frac{d ... ...\frac{1}{2}(\nabla_{\tilde{U}}\lambda_j\cdot r_j)(\tilde{U}_0)$$

となる。

この場合は、 $\tilde{v}_j(\delta)$ は、例えば

$$\tilde{v}_1(\delta)=\tilde{v}_0+\delta, \hspace{1zw} \tilde{v}_2(\delta)=\tilde{v}_0-\delta \hspace{1zw}(\delta\leq 0)$$

と取ればよい。