8.1 差分

Next: 8.2 偏微分方程式の差分近似 Up: 8 差分近似解 Previous: 8 差分近似解 (PDF ��: pdetutor.pdf)

8.1 差分

厳密な解を求めにくい場合、計算機で数値計算を行い解の様子を調べる方法がある。微分方程式の数値計算法にも色々あるが、ここでは差分法を紹介する。

差分方とは、関数の微分を、として

$\begin{displaymath} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{displaymath}$

(31)

で置き換えることをいう。この差分の $h\rightarrow 0$ のときの極限が微分であるので、

が小さければ差分と微分との差は小さく、よって微分は差分で近似できることになる。式 (31) の他にも

		$\displaystyle \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$	(32)
		$\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$	(33)

で置き換えることもできるが、(31) は前進差分、 (32) は後退差分、 (33) は中心差分と呼ばれる。

**図 24:** 前進、後退、中心差分
$\includegraphics{image/differs.eps}$

例えば、次のような常微分方程式の初期値問題

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{dx(t)}{dt}=x(t) \ \ (t>0), \\ [1zh] x(0)=1 \end{array}\right.\end{displaymath}$

(34)

を考えてみる。(34) の方程式の左辺を前進差分で置き換えると

$\begin{displaymath} \frac{x(t+h)-x(t)}{h}\approx x(t) \end{displaymath}$

となり、よってこの近似方程式は

$\begin{displaymath} x(t+h)\approx (1+h)x(t) \end{displaymath}$

と書けることになる。

と与えられているので、これにより

$\begin{eqnarray*} && x(h)\approx (1+h)x(0)=1+h,\\ && x(2h)\approx (1+h)x(h)=(... ... (1+h)x(2h)=(1+h)^3,\\ && \ldots \\ && x(nh) \approx (1+h)^n \end{eqnarray*}$

と、 $t=h,2h,3h,\ldots$ での

の近似値が求められることになる。

元の方程式 (34) の真の解はであるが、上の近似解をとすると、のときこの値は

$\begin{displaymath} x_h(t)=x_h(mh)=(1+h)^m=(1+h)^{t/h} \end{displaymath}$

となる。今、

を固定して $h\rightarrow 0$ とすると

$\begin{displaymath} (1+h)^{t/h} = \{(1+h)^{1/h}\}^t \rightarrow e^t \end{displaymath}$

となるので、この近似解

は

が小さい値のときは確かに真の解

を近似していることがわかる。

今、小さい正数が与えられた場合、を計算する式は

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{l} x_{n+1}=(1+h)x_n \ \ (n\geq 0),\\ x_0=x(0)=1\end{array}\right.\end{displaymath}$

となり、すなわち数列の漸化式で与えられることになる。このような漸化式の計算は、計算機で計算する場合にはむしろ都合が良い。このように、差分法においては通常漸化式によって数値計算が行われる。

Next: 8.2 偏微分方程式の差分近似 Up: 8 差分近似解 Previous: 8 差分近似解

Shigeharu TAKENO
2001年 9月 21日