5 ロンスキー行列式以外の一次独立性の判定法

もちろん、ロンスキー行列式以外にも、関数の集まりに対する 一次独立性の判定法はある。

恒等式から係数の $c_j$ が 0 になることを示せばよいので、 例えば、例 4 で行ったような 具体的な $x$ の値をいくつか代入することで 複数の方程式を作り出し、それによって判定する方法がある。 すなわち、(2) に $x=x_1,x_2,\ldots,x_n$ を代入して、 その連立方程式

			$$\left\{\begin{array}{ll} c_1f_1(x_1)+\cdots+c_nf_n(x_1) &=0\\ \cdots\\ c_1f_1(x_n)+\cdots+c_nf_n(x_n) &=0 \end{array}\right.$$
			$$\left\kakul\begin{array}{ccc}f_1(x_1)&\cdots&f_n(x_1)\\ \vdots &... ...ight\kakur = \left\kakul\begin{array}{c}0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right\kakur$$	(7)

を考えれば、この係数行列の行列式 $\vert\kakul f_j(x_i)\kakur\vert$ が 0 でなければ、その逆行列が存在して $c_1=\cdots=c_n=0$ となり、 一次独立であることが言える、という方法である。

関数に積が含まれている場合など、関数の導関数がかなり複雑な式に なってしまう場合は、ロンスキー行列式よりもこちらの方が楽になるし、 場合によっては、微分によって式を増やす方法と複数の値を代入する 方法の組み合わせてもよい。

例 6

• $f_1(x)=x^2\sin x$, $f_2(x)=x^2\cos x$, $f_3(x)=e^{2x}\sin x$, $f_4(x)=e^{2x}\cos x$ の一次独立性を調べるために、 ロンスキー行列式を計算しようとすれば、 例えば $f_1$, $f_3$ の導関数を見ると、
  • $f_1'(x) = x^2\cos x + 2x\sin x$, $f_3'(x) = 2e^{2x}\sin x + e^{2x}\cos x$,
  • $f_1''(x) = (2-x^2)\sin x + 4x\cos x$ $f_3''(x) = 3e^{2x}\sin x+ 4e^{2x}\cos x$,
  • $f_1'''(x) = (6-x^2)\cos x - 6x\sin x$ $f_3'''(x) = 2e^{2x}\sin x+ 11e^{2x}\cos x$,
  のようになり、$f_2,f_4$ も同様のような形になるので、 ロンスキー行列式の計算は相当大変である。

  それに対して、代入法で方程式を増やすだけなら、例えば、 $x=0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ の 4 点での式を考えれば、 $\mbox{\boldmath$f$}(x)={}^T\!{\kakul f_1(x)\ f_2(x)\ f_2(x)\ f_4(x)\kakur}$ と すれば、
  

  $$A$$

  $=$

  $$\left\kakul\mbox{\boldmath$f$}(0)\hspace{0.5zw}\mbox{\boldmath$f$... ...0&0&-\pi^2&0\\ 0&e^{\pi}&0&-e^{3\pi}\\ 1&0&-e^{2\pi}&0\end{array}\right\kakur$$

  となるので、
  $$\vert A\vert =\frac{\pi^4}{4}\left\vert\begin{array}{ccc}1&0&-9\... ...{\pi}&0&e^{3\pi}\end{array}\right\vert =\frac{\pi^4}{4}(e^{3\pi}+9e^{\pi})>0$$
  となって一次独立であることが示される。 この場合はロンスキー行列式の計算よりもこちらの方がだいぶ楽である。