3 一次従属性、一次独立性の定義

次に、一般ベクトル空間における一次従属、一次独立の定義を示す。

一般のベクトル空間 $V$ の元 $\mbox{\boldmath$a$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$a$}_n$ に対して、

• $\mbox{\boldmath$a$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$a$}_n$ の一次結合 とは、 $k_1\mbox{\boldmath$a$}_1+\cdots+k_n\mbox{\boldmath$a$}_n$ の形の式 ($k_j$ は実数)
• $\mbox{\boldmath$a$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$a$}_n$ が一次従属であるとは、 そのうちのひとつが、その他のものの一次結合として表される状態。
• $\mbox{\boldmath$a$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$a$}_n$ が一次独立であるとは、 それが一次従属ではない状態。

例えば、 $2\mbox{\boldmath$a$}+3\mbox{\boldmath$b$}$ は $\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$}$ の一次結合で、 $\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$},2\mbox{\boldmath$a$}+3\mbox{\boldmath$b$}$ は一次従属である。

$\mbox{\boldmath$R$}[x]$ では、例えば $3+2x$ は $1,x$ の一次結合、$1,x,3+2x$ は一次従属 であり、$1,x,x^2$ は一次独立である (厳密にはこの一次独立性は 自明ではなく証明が必要)。

一次独立であるか一次従属であるかの判定には、次の便利な定理がある。

定理 1

1. $\mbox{\boldmath$a$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$a$}_n\in V$ が一次従属である $\Longleftrightarrow$ $c_1\mbox{\boldmath$a$}_1+\cdots+c_n\mbox{\boldmath$a$}_n=\mbox{\boldmath$0$}$ と なるような、少なくとも 1 つは 0 でないものを含む実数 $c_1,\ldots,c_n$ の組がある
2. $\mbox{\boldmath$a$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$a$}_n\in V$ が一次独立である $\Longleftrightarrow$ $c_1\mbox{\boldmath$a$}_1+\cdots+c_n\mbox{\boldmath$a$}_n=\mbox{\boldmath$0$}$ と なるような、実数 $c_1,\ldots,c_n$ の組は、 $c_1=\cdots=c_n=0$ しかない

1. の「少なくとも ...組がある」の部分は、 $(c_1,\ldots,c_n)\neq (0,\ldots,0)$ のように、 2. の「実数 ...しかない」の部分は、 $(c_1,\ldots,c_n)=(0,\ldots,0)$ のように表現することもある。

なお、2. は 1. の対偶なので、線形代数の本では、 通常いずれか一方のみを紹介していることが多い。 よって証明も 1. か 2. のいずれか一方のみを行えばよい。

簡単に $n=3$ として 1. を証明する。

証明

• ( $\Longrightarrow$)
  $\mbox{\boldmath$a$}_1,\mbox{\boldmath$a$}_2,\mbox{\boldmath$a$}_3\in V$ が一次従属であるとき、 いずれか 1 つが他の 2 つの一次結合で表されるので、 例えばそれを $\mbox{\boldmath$a$}_1$ とすると、 $\mbox{\boldmath$a$}_1=k_1\mbox{\boldmath$a$}_2+k_2\mbox{\boldmath$a$}_3$ となる。

  このとき、 $-\mbox{\boldmath$a$}_1+k_1\mbox{\boldmath$a$}_2+k_2\mbox{\boldmath$a$}_3=\mbox{\boldmath$0$}$ なので、 $c_1=-1,c_2=k_1,c_3=k_2$ とすれば $c_1\neq 0$ の $c_1,c_2,c_3$ の 組が取れることになる。 $\mbox{\boldmath$a$}_2$ や $\mbox{\boldmath$a$}_3$ の場合も同様。

  ( $\Longleftarrow$)
  $c_1\mbox{\boldmath$a$}_1+c_2\mbox{\boldmath$a$}_2+c_3\mbox{\boldmath$a$}_3=\mbox{\boldmath$0$}$ で かつ $c_1,c_2,c_3$ のうち少なくとも 1 つは 0 でないものが あるとする。0 でないものが $c_1$ だとすると、$c_1$ で割って 移項すれば、

  $$\mbox{\boldmath$a$}_1=-\frac{c_2}{c_1}\mbox{\boldmath$a$}_2-\frac{c_3}{c_1}\mbox{\boldmath$a$}_3$$
  となって、 $\mbox{\boldmath$a$}_1$ が $\mbox{\boldmath$a$}_2,\mbox{\boldmath$a$}_3$ の一次結合となるので、 $\mbox{\boldmath$a$}_1,\mbox{\boldmath$a$}_2,\mbox{\boldmath$a$}_3$ は一次従属であることになる。

  $c_2$ や $c_3$ が 0 でない場合も同様。

この定理 1 を用いて、 いくつかのベクトルの組の一次独立性を示す。

例 2

• $\mbox{\boldmath$R$}^3$ の 3 つの数ベクトル $$\mbox{\boldmath$a$}=\left\kakul\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{arra... ...box{\boldmath$c$}=\left\kakul\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 4\end{array}\right\kakur$$ が 一次独立であること。

  $c_1\mbox{\boldmath$a$}+c_2\mbox{\boldmath$b$}+c_3\mbox{\boldmath$c$}=\mbox{\boldmath$0$}$ とすると、

  $$c_1\left\kakul\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right\kakur +c... ...ay}\right\kakur =\left\kakul\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right\kakur$$
  $$\left\{\begin{array}{llll} c_1 & +2c_2 & -c_3 & = 0\\ 2c_1 & -... ...}\right\kakur =\left\kakul\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right\kakur$$
  となる。最後の行列の係数行列 $A=\kakul\mbox{\boldmath$a$}\ \mbox{\boldmath$b$}\ \mbox{\boldmath$c$} \kakur$ の行列式 $\vert A\vert$ は、 $\vert A\vert=-1+(-6)+0$
  $-0-0-16=-23\neq 0$ なので、$A$ は逆行列を持ち、 よってこの方程式は $c_1=c_2=c_3=0$ しか解を持たない。 よって定理 1 より $\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$},\mbox{\boldmath$c$}$ は 一次独立である。

  これと同様にして、 $\mbox{\boldmath$R$}^n$ の $n$ 個の数ベクトルは、 それを並べて作った $n\times n$ 行列の行列式が 0 でなければ 一次独立である。

  逆にその行列式が 0 の場合は、連立一次方程式の理論から、 少なくともひとつは 0 ではない $c_1,\ldots,c_n$ の解が存在する ことが知られているので、一次従属である。 つまり、 $\mbox{\boldmath$R$}^n$ の $n$ 個のベクトルに対しては、 それらを並べた行列式が 0 でないことと一次独立であることが同値になる。

例 3

• $\mbox{\boldmath$R$}[x]$ での $1,x,x^2$ が一次独立であること。

  $c_1,c_2,c_3$ を実数の定数として、

  $$c_1+c_2x+c_3x^2=0$$
  が成り立つとする。この「$=0$」とは、多項式として 0 に等しい、 ということであり、よって「 $c_1+c_2x+c_3x^2=0$」は恒等式であり、 「2 次方程式」ではない。多項式として 0 に等しい、ということは、 両辺の各次数の係数が等しいことを意味するので、 ここから $c_1=c_2=c_3=0$ が直ちに従い、 よって定理 1 により $1,x,x^2$ が一次独立であることが示されたことになる。

例 4

• $C^0(\mbox{\boldmath$R$})$ で $1,\sin x,\cos x$ が一次独立であること。

  $c_1,c_2,c_3$ を実数の定数として、

  $$c_1+c_2\sin x + c_3\cos x=0$$
  が成り立つとする。 この「$=0$」も $C^0(\mbox{\boldmath$R$})$ の元としての等号なので、 すべての実数 $x$ に対して成り立つことを意味する。 すべての実数で成立するので、 例えば $x=0$ とすれば $c_1+c_3=0$ が得られ、 $x=\pi/2$ とすれば $c_1+c_2=0$ が得られ、 $x=\pi$ とすれば $c_1-c_3=0$ が得られ、この 3 本の式から、 $c_1=c_2=c_3=0$ となることがわかる。 よって定理 1 により $1,\sin x,\cos x$ は一次独立である。