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3.1 収束半径

2.2 節の議論により、

\begin{displaymath} \vert a_nx^n\vert\leq M_n,\hspace{1zw}\sum_{n=0}^\infty M_n<\infty \end{displaymath}

となるような $M_n$ が存在すればこのベキ級数は、 この条件が満たされる $x$ に対して絶対収束する。 このような級数 $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty M_n$ をこのベキ級数 (8) の優級数 という。

今、もし

\begin{displaymath} \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert\rightarrow \ell > 0 \hspace{1zw}(n\rightarrow\infty \mbox{ のとき}) \end{displaymath}

である場合、

\begin{displaymath} \left\vert\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}\right\vert =\left\ve... ...n+1}}{a_n}\right\vert\vert x\vert\rightarrow \ell \vert x\vert \end{displaymath}

であるから、ダランベールの判定法により $\ell \vert x\vert<1$、すなわち $\vert x\vert<1/\ell$ のときベキ級数 (8) は絶対収束し、 $\vert x\vert>1/\ell$ のときは発散することがわかる。 つまり、0 を中心として、 $-1/\ell<x<1/\ell$ の範囲で収束することになるが、 一般に、次のことが言える。


定理 11

どんなベキ級数 (8) に対しても、

となるような $0\leq r\leq\infty$ が存在する。 ただし、$r=0$ のときは、$x=0$ 以外では収束しない ($\vert x\vert>0$ ならば発散)、 $r=\infty$ のときは、すべての $x$ に対して収束する ($\vert x\vert<\infty$ ならば収束) ことを意味する。


この $r$ を、このベキ級数の 収束半径 と呼ぶ。

$r=0$ であるようなベキ級数としては、例えば

\begin{displaymath} \sum_{n=0}^\infty n!x^n \end{displaymath}

があるし、$r=\infty$ であるようなベキ級数としては、例えば

\begin{displaymath} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\hspace{1zw}(=e^x) \end{displaymath}

がある。前者は

\begin{displaymath} \left\vert\frac{(n+1)!x^{n+1}}{n!x^n}\right\vert=(n+1)\vert ... ...>0\mbox{ のとき})\\ 0 & (x=0\mbox{ のとき})\end{array}\right.\end{displaymath}

となるので、$x\neq 0$ ならばこのベキ級数は収束しない。後者は

\begin{displaymath} \left\vert\frac{\displaystyle \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\displ... ...c{x^n}{n!}}\right\vert =\frac{\vert x\vert}{n+1} \rightarrow 0 \end{displaymath}

となるので、どんな $x$ に対しても絶対収束する。

収束半径は、一般に次のような式であらわされることが知られている:

\begin{displaymath} r=\frac{1}{\displaystyle \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\vert a_n\vert}} \end{displaymath}

式の意味も含めて、詳しいことに関しては、解析学の詳しい本、 あるいは級数論に関する書籍を参照してもらいたいが、 コーシーの判別法と関連があることがぼんやりと想像されると思う。 実際、この節の最初に紹介したように、

\begin{displaymath} \lim_{n\rightarrow\infty}\left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right... ...泙燭� } \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\vert a_n\vert}=\ell \end{displaymath}

ならば $r=1/\ell$ となる。

マクローリン展開の有限項による近似式も、収束半径内では近似になるが、 収束半径外では近似にはならないし、 収束半径内でも収束半径に近い $x$ ではその近似の精度は悪くなる。

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竹野茂治＠新潟工科大学
2006年9月26日