3 一般形と予想

2 節の計算結果、および (1) から、 $J_{n+1/2}$, $N_{n+1/2}$ は、いずれも

$$\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,\frac{f(x)\sin x + g(x)\cos x}{x^n}$$

で $f,g$ は多項式の形になることがわかる。 よってあとはこの $f,g$ の部分を求めればよいことになる。

2 節の結果から、$J_{n+1/2}$ に 対する $f,g$ ($\sin x$, $\cos x$ の係数) は、 $N_{n+1/2}$ に対する $g,f$ ($\cos x$, $\sin x$ の係数) と 符号の違い程度であることが予想でき、 また、$f$ と $g$ の次数は一つ違っていて、 その次数の高い方も、$n$ の増加に対して入れ替わると予想される。 よって、

  $$J_{n+1/2}(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,\left\{ \frac{\phi_n(x... ...{2}\right) +\frac{\psi_n(x)}{x^n}\cos\left(x-\,\frac{n\pi}{2}\right) \right\}$$ (3)

と置いて考えていく。$\phi_n(x)$ が次数の高い (と予想される) 方である。

$$\mbox{\boldmath {$v$}}_n = \left(\sin\left(x-\,\frac{n\pi}{2}\rig... ...t)\right), \hspace{1zw}\mbox{\boldmath {$\alpha$}}_n = (\phi_n(x), \psi_n(x))$$

とすると、

$$J_{n+1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\, \frac{\mbox{\boldmath {$\alpha$}}_n\mathop{・}\mbox{\boldmath {$v$}}_n}{x^n}$$

と書け、 $\mbox{\boldmath {$v$}}_n$ の最初の 4 つは

$$\begin{array}{ll} \mbox{\boldmath {$v$}}_0 = (\sin x,\cos x), &... ... (-\sin x,-\cos x), & \mbox{\boldmath {$v$}}_3 = (\cos x,-\sin x) \end{array}$$

で、あとはこの繰り返しとなる。 ここから、 $\mbox{\boldmath {$\alpha$}}_n$ の最初の 3 つを見てみると、 2 節の計算より、

  $$\mbox{\boldmath {$\alpha$}}_0=(1,0), \hspace{1zw}\mbox{\boldmath {$\alpha$}}_1=(x,1), \hspace{1zw}\mbox{\boldmath {$\alpha$}}_2=(x^2-3,3x)$$ (4)

となることがわかる。

一方、$N_{n+1/2}$ の $x^n$ の分子の $f(x)\sin x+g(x)\cos x$ の部分は、 丁度

$$\begin{eqnarray*}-\cos x &=& (1,0)\mathop{・}(-\cos x,\sin x) \ =\ \mbox{\b... ... \mbox{\boldmath {$\alpha$}}_2\mathop{・}\mbox{\boldmath {$v$}}_3\end{eqnarray*}$$

となっているので、

$${ N_{n+1/2}(x) \ =\ \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,\frac{\mbox{\boldmath {$\alpha$}}_n\mathop{・}\mbox{\boldmath {$v$}}_{n+1}}{x^n}}$$

$$= \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,\left\{ \frac{\phi_n(x)}{x^n}\sin\left(x-... ...\pi\right) +\frac{\psi_n(x)}{x^n}\cos\left(x-\,\frac{n+1}{2}\pi\right) \right\}$$ (5)

となることが予想される。

ここまでをまとめて、今後以下のことを示すことにする。

1. $\phi_n(x)$ は $n$ 次式、 $\psi_n(x)$ は $(n-1)$ 次式 ($n\geq 1$ のとき)
2. $n$ が奇数の場合は $\phi_n$ は奇関数、$\psi_n$ は偶関数で、 $n$ が偶数の場合は $\phi_n$ は偶関数、$\psi_n$ は奇関数
3. $\phi_n$ と $\psi_n$ に関する微分のない漸化式を得ること
4. (5) が成り立つこと