2 実際の確率と r とのずれ

以後、簡単のために RAND_MAX を

と書くこととし、 rand() の値を意味する

は、0 から

までの整数値を一様にとる確率変数であるとする。

この場合、 ( $j=0,1,2,\ldots,R_M$ ) である確率はすべて等しいことになるので、

$\begin{displaymath} \mathrm{Prob}\{x=j\} (=\mbox{「$x=j$ である確率」}) = \frac{1}{R_M+1}\end{displaymath}$ (1)

となる。

1 節で紹介した方法では、 $x\leq R_M\times r$ となるとき 1 となるようにしているが、この確率

$\begin{displaymath} P_1 = \mathrm{Prob}\{x\leq R_M\times r\} (=\mbox{「$x\leq R_M\times r$ である確率」}) \end{displaymath}$

がほぼ

に等しいことが期待される。

以下、まず一般の負でない実数に対して、確率

$\begin{displaymath} P=\mathrm{Prob}\{x\leq t\} \end{displaymath}$

を

の式であらわすことを考えてみる。

は実際には整数の値しか取らないので、

$\begin{displaymath} P=\mathrm{Prob}\{x\leq \lfloor t\rfloor\} \end{displaymath}$

に等しい。ここで、 $\lfloor t\rfloor$ は、

以下の最大の整数を表わすものとし²、例えば $\lfloor 3.2\rfloor=3$ , $\lfloor 3\rfloor=3$ となる。

よって、(1) より、

$\displaystyle P$	$\textstyle =$	$\displaystyle \mathrm{Prob}\{x=0\} + \mathrm{Prob}\{x=1\} + \cdots +\mathrm{Prob}\{x=\lfloor t\rfloor\}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{\lfloor t\rfloor+1}{R_M+1}$	(2)

となる。この公式 (2) を用いれば

は

$\begin{displaymath} P_1 = \mathrm{Prob}\{x\leq R_M\times r\} = \frac{\lfloor R_M\times r\rfloor+1}{R_M+1}\end{displaymath}$ (3)

となる。

ところで、 $\lfloor t\rfloor$ は定義、あるいは図 1 のグラフより不等式

$\begin{displaymath} t-1<\lfloor t\rfloor\leq t\end{displaymath}$ (4)

を満たすことがわかる。

図: $\lfloor x\rfloor$ のグラフ
$\includegraphics[width=0.4\textwidth]{floor.eps}$

(3), (4) より、は

$\begin{displaymath} \frac{R_M r}{R_M+1}<P_1\leq \frac{R_M r+1}{R_M+1} \end{displaymath}$

を満たすので、よって、

については

$\begin{displaymath} -\frac{r}{R_M+1}<P_1-r\leq \frac{1-r}{R_M+1}\end{displaymath}$ (5)

が成り立つ。 $0\leq r\leq 1$ だから、

が十分大きければ (5) の両端の値は十分 0 に近くなり、よってそれなりに

は

に近いことになる。

竹野茂治＠新潟工科大学
2007年5月31日