3 3 次方程式の解法
本節では、3 次方程式の一般的な解法 (解の公式) を紹介する。
本稿では、
 |
(8) |
の形の 3 次方程式についてのみ説明するが、より一般の
の形の 3 次方程式を (8) の形に
帰着させるのは難しいことではない (例えば [1] 参照)。
また、係数
,
は本節では実数とするが、
その他の節では原則有理数のみを扱う。
(8) において
として代入すると、
 |
(9) |
が得られる。ここから
 |
(10) |
を満たす
,
を求めて
とする、
というのが一般的な 3 次方程式の解法 (解の公式) である。
なお、(9) から (10) が
成り立たなければいけないわけではないが、
(10) が成り立てば (9) は
当然成り立つ。そして、(10) から
3 つの解はすべて得られる、という仕組みになっている。
また、
,
,
は一般には複素数である。
(10) より、
,
は、2 次方程式
 |
(11) |
の解となる。この方程式の判別式
 |
(12) |
の符号により、場合分けして考える。
まずは
の場合であるが、
この場合 (11) は異なる 2 つの実数解
 |
(13) |
を持つ。
,
と対応させれば、
より
![\begin{displaymath}
u
=\sqrt[3]{\lambda_1},
\sqrt[3]{\lambda_1}\,\omega,
\sq...
...},
\sqrt[3]{\lambda_2}\,\omega,
\sqrt[3]{\lambda_2}\,\omega^2\end{displaymath}](img41.gif) |
(14) |
となる。ここで、
は
で、
 |
(15) |
を満たす。
なお、(11) の解と係数の関係より、
なので、
より
となるから、
(14) の
の
組み合わせのうち、(10) の
を
満たすものは
の 3 種類であることがわかる。これにより、
3 次方程式 (8) の解は
![\begin{displaymath}
x = u+v = \sqrt[3]{\lambda_1}+\sqrt[3]{\lambda_2},
\hspace...
...5zw}\sqrt[3]{\lambda_1}\,\omega^2 + \sqrt[3]{\lambda_2}\,\omega\end{displaymath}](img51.gif) |
(16) |
と表される。最初のものは実数であるが、
より後の 2 つは虚数となる。
よって、
の場合は、方程式 (8) は 1 つの実数解と 2 つの虚数解を持つことになる。
,
は (13) のように平方根で表されるので、
一般にはこの解には (1) の形の 2 重根号が
含まれることになる (
,
の
場合)。
次は
の場合であるが、この場合は
となり、また (15) より
なので、
解は
の 2 つであることがわかる (後者は重解)。
この場合は解には 2 重根号は現れない。
最後は
の場合であるが、この場合
,
は
 |
(17) |
の虚数となる。つまり
,
は「虚数の 3 乗根」となるが、
それを認めれば、形式的に (16) と同じ式が
解となる。以下でこの虚数の 3 乗根について少し説明し、
その式の意味をもう少し明らかにする。
虚数
(
,
) に対して、
となる複素数
を
の 3 乗根と呼ぶが、
その実部と虚部を
,
で表すのは難しい。
を極座標表示して
(
) とすると、
となる
は
と表される。これが
の 3 乗根であり、複素数では 3 つあることになる。
今、(17) の
を
(
) と極座標表示すると、
(12) より
 |
(18) |
となる。また、
は
の共役であるから
となり、よって
,
はそれぞれ
となる。この中で (10) の
となるのは、
(18) より
なので、
の 3 種類となる。これらはいずれも
となっているので、結局
![\begin{displaymath}
x = u+v = 2\sqrt[3]{R}\,\cos\frac{\phi}{3},
\hspace{0.5zw}...
...+2\pi}{3},
\hspace{0.5zw}2\sqrt[3]{R}\,\cos\frac{\phi+4\pi}{3}\end{displaymath}](img80.gif) |
(19) |
のように表されることになる。
よって、この
の場合は 3 つの実数解が得られる。
なお、この 3 つの実数解 (19) については、
最初から方程式を
の 3 倍角の公式と比較して
解を三角関数 (と逆三角関数) で表現する方法もあるが ([1] 参照)、それは結果的に (19) と
ほぼ同等である。
本稿で必要となる、「実数の範囲での 3 乗根と平方根の 2 重根号」
が現れるのは、結局
の場合の唯一の実数解となる。
竹野茂治@新潟工科大学
2018-03-02