2 x の自然数乗の定積分

まずは $x$ の自然数乗 $x^\ell$ ($\ell$: 自然数) の定積分

$$I_{\ell}(a,b) = \int_a^b x^\ell dx\hspace{1zw}(a<b)$$ (5)

を考える。 以下の定理は、原始関数を使わなくてもリーマン積分に対して証明される。

命題 3

1. $f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ でリーマン積分可能で、$a<c<b$ のとき、
   $$\int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x)dx$$
2. $f(x)$ が $[-a,a]$ のリーマン積分可能な奇関数のとき、
   $$\int_{-a}^0 f(x) dx = -\int_0^a f(x) dx$$
3. $f(x)$ が $[-a,a]$ のリーマン積分可能な偶関数のとき、
   $$\int_{-a}^0 f(x) dx = \int_0^a f(x) dx$$

この命題 3 により、$I_\ell(a,b)$ は、 $b>0$ に対する $[0,b]$ の積分

$$I_{\ell}(0,b) = \int_0^b x^\ell dx$$ (6)

だけ考えればよい。 実際、$\ell$ が偶数の場合は $x^\ell$ は偶関数なので、 $0\leq a<b$ の場合は、命題 3 により、

$$I_{\ell}(a,b) = I_{\ell}(0,b) - I_{\ell}(0,a)$$ (7)

$a<0\leq b$ の場合は、

$$I_{\ell}(a,b) = I_{\ell}(a,0) + I_{\ell}(0,b) = I_{\ell}(0,-a) + I_{\ell}(0,b)$$ (8)

$a<b<0$ の場合は、

$$I_{\ell}(a,b) = I_{\ell}(a,0) - I_{\ell}(b,0) = I_{\ell}(0,-a) - I_{\ell}(0,-b)$$ (9)

となってすべて $a=0,b>0$ の場合に帰着される。奇関数の場合も同様である。

まず例として $\ell=2$ の場合

$$I_2(0,b) = \int_0^b x^2 dx\hspace{1zw}(b>0)$$

を考えてみよう。$x^2$ はもちろん連続関数だから、 命題 2 より分割は (4) を 満たせばどのように取ってもよいことになるが、ここでは

$$x_k = \frac{k}{n}\,b,\hspace{1zw}\bar{x}_k=x_k\hspace{1zw}(1\leq k\leq n)$$ (10)

すなわち、分割は $n$ 等分とし、標本点は小区間の右端に取る。 この場合は $\delta(\Delta_n)=b/n$ なので、 $n\rightarrow\infty$ のときに $\delta(\Delta_n)\rightarrow 0$ となって、 $n\rightarrow\infty$ であれば極限の条件 (4) は 満たされる。 このとき、リーマン和 $S(\Delta_n)$ は、

	$$S(\Delta_n)$$	$=$	$$\sum_{k=1}^n (\bar{x}_k)^2(x_k-x_{k-1}) \ =\ \sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\,b\right)^2\frac{b}{n} \ =\ \frac{b^3}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2$$
		$=$	$$\frac{b^3}{n^3}\,\frac{n}{6}(n+1)(2n+1) \ =\ \frac{b^3}{6}\left(... ...{1}{n}\right) \ \rightarrow \ \frac{b^3}{3}\hspace{0.5zw}(n\rightarrow\infty )$$

なので、

$$I_2(0,b) = \int_0^b x^2dx = \frac{b^3}{3}$$ (11)

となる。$x^2$ は偶関数なので、 (7), (8), (9) および (11) により、いずれの場合も

$$I_2(a,b) = \frac{b^3}{3} - \frac{a^3}{3}$$ (12)

となることがわかる。

一般の $x^\ell$ の場合には、(10) と同じ等分割で 考えれば、そのリーマン和は

$$S(\Delta_n) = \sum_{k=1}^n (\bar{x}_k)^\ell(x_k-x_{k-1}) = \... ...}\,b\right)^\ell\frac{b}{n} = \frac{b^{\ell+1}}{n^{\ell+1}}\sum_{k=1}^n k^\ell$$ (13)

となるので、この極限が必要になる。この和を $\ell=2$ の場合のような ひとつの式で表すのは難しいが、 極限なら求めることができる。すなわち、

$$\lim_{n\rightarrow \infty}{ \frac{1}{n^{\ell+1}}\sum_{k=1}^n k^\ell} = \frac{1}{\ell+1}$$ (14)

となることを証明できる。なお、これは $\ell=0$ でも成立するので、 0 以上の整数 $\ell$ に対して帰納法で証明する。

$\ell=0$ では、(14) は

$$\lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n 1} = \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{n}{n}} = 1$$

となるので (14) は成立する。 次に $\ell\geq 1$ とし、0 以上 $\ell$ 未満の整数に対しては (14) が成り立つとしたときに、 $\ell$ の場合に (14) が成り立つことを示す。 今、

$$(k+1)^{\ell+1}-k^{\ell+1} =\left(\begin{array}{c} \!\!\ell+1\!\!... ...\ell \left(\begin{array}{c} \!\!\ell+1\!\! \\ \!\!j\!\! \end{array}\right)k^j$$

を $k=1$ から $k=n$ まで加える。 なお本稿では、二項係数 ${}_nC_k$ を $$\left(\begin{array}{c} \!\!n\!\! \\ \!\!k\!\! \end{array}\right)$$ と書く。 その和は、

$$(n+1)^{\ell+1}-1 = \left(\begin{array}{c} \!\!\ell+1\!\! \\ \!\... ...egin{array}{c} \!\!\ell+1\!\! \\ \!\!j\!\! \end{array}\right)\sum_{k=1}^n k^j$$

なので、$n^{\ell+1}$ で割ると、

$$\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\ell+1}-\frac{1}{n^{\ell+1}} =\left(\... ...frac{1}{n}\,\frac{1}{n^\ell}\sum_{k=1}^n k^{\ell-1} +\cdots + \frac{1}{n^\ell}$$

となるが、 $n\rightarrow\infty$ のときに左辺は 1 に収束し、 右辺は最初の項以外は帰納法の仮定により すべて 0 に収束する。よって、

$$1 = \left(\begin{array}{c} \!\!\ell+1\!\! \\ \!\!\ell\!\! \end{a... ...(\ell+1)\lim_{n\rightarrow \infty}{ \frac{1}{n^{\ell+1}}\sum_{k=1}^n k^\ell}$$

となり、これで $\ell$ の場合に (14) が示された ことになって、0 以上のすべての整数 $\ell$ に 対して (14) が証明されたことになる。

さて、(14) により、(13) の極限は $$\frac{b^{\ell+1}}{\ell+1}$$ となることがわかるので、これで

$$I_\ell(0,b) = \int_0^b x^{\ell}dx = \frac{b^{\ell+1}}{\ell+1}$$ (15)

が区分求積法により示されたことになり、 また、(12) を導いた議論と同様にして、

$$I_\ell(a,b) = \int_a^b x^{\ell}dx = \frac{b^{\ell+1}}{\ell+1} - \frac{a^{\ell+1}}{\ell+1}$$ (16)

が得られる。実際、$\ell$ が偶数の場合は $I_2$ の場合と全く同じで、 $\ell$ が奇数の場合は、$x^\ell$ は奇関数で、 (15) の積分値は偶数乗だから、 $0\leq a<b$ の場合は

$$I_{\ell}(a,b) = I_{\ell}(0,b) - I_{\ell}(0,a) = \frac{b^{\ell+1}}{\ell+1} - \frac{a^{\ell+1}}{\ell+1}$$ (17)

$a<0\leq b$ の場合は、

$$I_{\ell}(a,b) = I_{\ell}(a,0) + I_{\ell}(0,b) = -I_{\ell}(0,-a) + I_{\ell}(0,b) = \frac{b^{\ell+1}}{\ell+1} - \frac{a^{\ell+1}}{\ell+1}$$ (18)

$a<b<0$ の場合は、

$$I_{\ell}(a,b) = I_{\ell}(a,0) - I_{\ell}(b,0) = -I_{\ell}(0,-a) + I_{\ell}(0,-b) = \frac{b^{\ell+1}}{\ell+1} - \frac{a^{\ell+1}}{\ell+1}$$ (19)

となって、いずれも (16) に一致する。