4 パラメータの決定
式変形を行うために、以後、
 |
(6) |
と書いて、
,
の代わりに
,
を決定することを考えることにする。
このとき、
となるので、
,
の加法定理 ([1] 参照) により、
(3), (5) の左辺は以下のようになる。

よって、(3), (5) は
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(7) |
と書ける。この (7) の両者の比を取れば、
 |
(8) |
となるので、
は
 |
(9) |
と表されることになる。
ここで、
は、
の逆関数 (詳しくは [1] 参照)。
また、
なので、
(7) の自乗の差を考えれば
となり、よって
,
より
となる。この両辺を
で割れば
 |
(10) |
が得られる。
ここで、
なので
だから
この式の右辺は 1 より大きいことに注意する。
今、関数
を
とすると、(10) は
となるので、この
の逆関数
により
は
と書けるので、よって結局
は
 |
(11) |
と表されることになる。
なお、
が、
で単調増加であることは、
例えば
のマクローリン展開により示される。
より
であるから、
となり、この右辺は
で正なので、よって
となる。
ゆえに
には逆関数
が存在することがわかる。
また、ロピタルの定理により
なので、
は
を定義域とし、
で、
で滑らかになる。
よって、
より (11) の右辺は一意に定まる正の実数値となる。
なお、
なので、
となっている。
竹野茂治@新潟工科大学
2013年11月5日