3 地球のような星の場合

地球のような星の場合、

は球で¹、さらに、その質量は中心から層状に対称に分布すると考えられるので、地球の中心を原点 O とすれば、 $\psi(\mbox{\boldmath$x$})$ は $r=\vert\mbox{\boldmath$x$}\vert$ のみの関数

$\begin{displaymath} \psi(\mbox{\boldmath$x$}) = \rho(r) \end{displaymath}$

と見ることができる²。この条件の元で (1) を極座標変換を用いて計算してみる。

は半径の球であるとし、極座標を

$\begin{displaymath} \begin{array}{ll} \mbox{\boldmath$x$} &= (r\cos\phi\cos\th... ... < 2\pi, \hspace{0.5zw}-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2) \end{array}\end{displaymath}$ (2)

のように導入する。ここで、 $\mbox{\boldmath$e$}_1$ , $\mbox{\boldmath$e$}_2$ , $\mbox{\boldmath$e$}_3$ は互いに直交する単位ベクトルとするが、軸方向の基本ベクトルと取る必要はないので、計算を簡単にするため、 $\mbox{\boldmath$e$}_3$ を $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ の方向に取り、 $\mbox{\boldmath$e$}_1$ , $\mbox{\boldmath$e$}_2$ はそれに応じて取り直すこととする。ただし、A = O の場合は後で別に考えることとし、まずは $\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert\neq 0$ の場合を考える。この場合は、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert\mbox{\boldmath$e$}_3$ となることに注意する。

まずはこの変数変換のヤコビアン $D(\mbox{\boldmath$x$})/D(r,\phi,\theta)$ であるが、これは

$\begin{eqnarray*}\frac{D(\mbox{\boldmath$x$})}{D(r,\phi,\theta)} &=& \left\ver... ...sin^2\phi\cos^2\theta) \ &=& r^2\cos\theta\hspace{1zw}(\geq 0)\end{eqnarray*}$

となる。また、

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$x$} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} = (r\cos... ...a-\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert)\mbox{\boldmath$e$}_3 \end{displaymath}$

より、

$\begin{eqnarray*}\vert\mbox{\boldmath$x$} - \overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert^2 ... ...thrm{OA}}\vert\sin\theta+\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert^2\end{eqnarray*}$

となるので、(1) は極座標 (2) により以下のようになる:

	$\displaystyle \mbox{\boldmath$F$}$	$\textstyle =$	$\displaystyle mG\int\!\!\int\!\!\int _W \rho(r)\frac{(r\cos\phi\cos\theta)\mb... ...ow{\mathrm{OA}}\vert\sin\theta+\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert^2)^{3/2}}$
			$\displaystyle \times r^2\cos\theta dr d\phi d\theta$	(3)

ここで、 $W=\{(r,\phi,\theta); 0\leq r\leq R,\hspace{0.5zw}0\leq\phi < 2\pi, \hspace{0.5zw}-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2\}$ であり、

$\begin{displaymath} \int_0^{2\pi}\cos\phi d\phi = \int_0^{2\pi}\sin\phi d\phi = 0 \end{displaymath}$

なので、 $\mbox{\boldmath$F$}$ の $\mbox{\boldmath$e$}_1$ , $\mbox{\boldmath$e$}_2$ 方向成分は 0 となり、よって $\mbox{\boldmath$e$}_3$ 成分のみ残ることになるが、これは $\phi$ にはよらないので、

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$F$} = 2\pi mG\mbox{\boldmath$e$}_3\int_0^... ...theta+\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert^2)^{3/2}} d\theta\end{displaymath}$ (4)

となる。今、

(

) を、

$\begin{displaymath} f(t) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{(t\sin\theta-1)\cos\theta}% {(t^2-2t\sin\theta+1)^{3/2}} d\theta\end{displaymath}$ (5)

とすると、

$\begin{displaymath} f\left(\frac{r}{\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert}\righ... ...heta+\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert^2)^{3/2}} d\theta \end{displaymath}$

なので、(4) は

を用いて

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$F$} = \frac{2\pi mG}{\vert\overrightarrow{\... ...\left(\frac{r}{\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert}\right)dr\end{displaymath}$ (6)

と書けることになる。

を積分するために $u=t^2-2t\sin\theta+1$ と置換すると、

$\begin{displaymath} t\sin\theta-1 = \frac{t^2+1-u}{2}-1 = \frac{t^2-1-u}{2}, \hspace{1zw}\cos\theta d\theta = -\frac{1}{2t} du \end{displaymath}$

より、 $t\neq 1$ のとき

は

$\begin{eqnarray*}f(t) &=& \int_{t^2+2t+1}^{t^2-2t+1}\frac{t^2-1-u}{2u^{3/2}} ... ...ox{ のとき}),\\ -2 & (0<t<1 \mbox{ のとき}) \end{array}\right.\end{eqnarray*}$

と計算される。よって、これを (6) に代入すると、結局

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$F$} = -\frac{4\pi mG}{\vert\overrightarrow... ...m{OA}}$}\vert}\rho(r)r^2dr \hspace{1zw}(a\wedge b=\min\{a,b\})\end{displaymath}$ (7)

と書けることになる。

さらに、地球の中心から半径 () までの部分の球の質量を $\hat{M}(s)$ と書くことにすると、

$\begin{displaymath} \hat{M}(s) = \int_{0<r<s}\rho(r) dv = \int_0^s dr\int_{-\pi/... ..._0^{2\pi}\rho(r)r^2\cos\theta d\phi = 4\pi\int_0^s\rho(r)r^2dr \end{displaymath}$

となるので、これを用いれば (7) は、

$\begin{displaymath} \mbox{\boldmath$F$} = -\frac{m\hat{M}(R\wedge\vert\overrig... ...vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert^2} \mbox{\boldmath$e$}_3\end{displaymath}$ (8)

と書くこともできる。

なお、A=O の場合は $(r^2-2r\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert\sin\theta+\vert\overrightarrow{\mathrm{OA}}\vert^2)^{3/2}=r^3$ となるので、 (3) は、

$\begin{eqnarray*}\mbox{\boldmath$F$} &=& mG\int\!\!\int\!\!\int _W \rho(r)(\... ...\boldmath$e$}_2 + 0\mbox{\boldmath$e$}_3) = \mbox{\boldmath$0$}\end{eqnarray*}$

となる。しかも、この計算は、 $\mathrm{A}\in V$ の場合の広義積分が発散せずに収束することも示していることに注意する。 $\mathrm{A}\in V$ の場合、A を中心とする小さな球 (A の近傍) の積分は、 A を中心とする極座標で積分すれば、 $\psi(\mbox{\boldmath$x$})$ が $\rho(r)$ ではなく $r,\phi,\theta$ に依存する関数となるので $\mbox{\boldmath$0$}$ にはならないが、それ以外は上の計算とほぼ同じで分母の

は分子の

と丁度約分されてしまうので、積分は発散せずに収束することがわかる。

竹野茂治＠新潟工科大学
2013年1月6日