4 等時降下曲線の解

式 (5) の被積分関数も、 $y=\beta$ で分母が 0 になるので、 (5) を単純に $\beta$ で微分することはできないが、実は良く知られているように、(5) の左辺は

の 1/2 階積分 (の定数倍) の形なので、この式をもう 1/2 階積分すれば

については簡単な式になることが期待される。

すなわち、両辺を $1/\sqrt{t-\beta}$ 倍して、 $\beta$ に関して 0 からまで積分する ()。

$\begin{displaymath} \int_0^t\frac{d\beta}{\sqrt{t-\beta}} \int_0^{\beta}\frac{... ...a-y}}\,dy = \int_0^t\frac{\sqrt{2g}\,Td\beta}{\sqrt{t-\beta}}\end{displaymath}$ (6)

(6) の左辺の累次積分は、

より順序交換でき、

$\begin{eqnarray*} % latex2html id marker 1037 \mbox{(\ref{eq:G:1/2}) の左辺} &=... ...)s}} \ =\ \int_0^tG(y)dyB\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\end{eqnarray*}$

となる。ここで、

はベータ関数で、良く知られているように

$\begin{displaymath} B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \frac{\Gamma(1/2)^2}{\Gamma(1)} = \pi \end{displaymath}$

である。一方 (6) の右辺は、

$\begin{displaymath} \int_0^t\frac{\sqrt{2g}\,Td\beta}{\sqrt{t-\beta}} = \sqrt{2g... ...t{t-\beta}\right]_{\beta=0}^{\beta=t} = 2\sqrt{2g}\,T\sqrt{t} \end{displaymath}$

なので、結局

$\begin{displaymath} \int_0^tG(y)dy = \frac{2\sqrt{2g}\,T}{\pi}\sqrt{t}\end{displaymath}$ (7)

が、

である任意の

に対して成り立つことになる。この式を

で微分すれば、

に対する方程式

$\begin{displaymath} G(t) = \sqrt{1+(p'(t))^2} = \frac{c_0}{\sqrt{t}}\end{displaymath}$ (8)

が得られる ( $c_0 = T\sqrt{2g}/\pi$ )。

より、(8) から

$\begin{displaymath} p'(t) = \sqrt{\frac{c_0^2}{t}-1} = \sqrt{\frac{c_0^2-t}{t}} \end{displaymath}$

となるので、

より結局

$\begin{displaymath} p(y) = \int_0^y \sqrt{\frac{c_0^2-t}{t}} \,dt = c_0^2\int_0^{y/c_0^2} \sqrt{\frac{1-s}{s}}\,ds\end{displaymath}$ (9)

となる。あとはこの積分を求めればよい。積分

$\begin{displaymath} F(\xi) = \int_0^{\xi} \sqrt{\frac{1-s}{s}}\,ds \hspace{1zw}(0<\xi<1)\end{displaymath}$ (10)

は、置換 $s=(1-\cos\theta)/2$ , ( $0<\theta<\pi$ ) により、

$\begin{eqnarray*}F(\xi) &=& \int_0^{\theta_\xi} \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-... ...+\sin\theta_\xi), \\ \xi &=& \frac{1}{2}(1-\cos\theta_\xi)\end{eqnarray*}$

となる。ここで、 $\phi=\pi-\theta_\xi$ とすると、 $0<\phi<\pi$ で、

$\begin{eqnarray*}\frac{\pi}{2} - F(\xi) &=& \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}(\pi -... ... - \frac{1}{2}(1-\cos(\pi - \phi)) \ = \ \frac{1}{2}(1-\cos\phi)\end{eqnarray*}$