正解例

1. $f(x)$ は奇関数なので $a_n=0$ (注: 普通に計算する場合は、$n\geq 1$ と $n=0$ の場合分けをする必要がある)
   $$\begin{eqnarray*} b_n & = & \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx \hspace... ...ox{ 奇数 })\\ [.5zh] 0 & (n: \mbox{ 偶数 }) \end{array}\right. \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   ゆえに
   
   $$f(x)\sim\sum_{n=1}^\infty -\frac{4}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^n... ...{\sin x}{1}+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\cdots\right)$$
   
   

2. $g(x)$ は連続で、$g'(x)=f(x)$ も区分的に連続、よって
   
   $$g(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$
   
   
   とすると
   
   $$g'(x)=f(x)\sim \sum_{n=1}^\infty (-na_n\sin nx+nb_n\cos nx)$$
   
   
   となり、よって (1) より $nb_n=0$ ($n\geq 1$) となり $b_n=0$ となる。 また、
   $$\begin{eqnarray*} && -na_n = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle -\frac{8... ...\right.\\ && a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi g(x)dx = 2\pi \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   となるので、よって
   
   $$g(x)\sim \pi + \frac{8}{\pi}\left( \frac{\cos x}{1^2}+\frac{\cos 3x}{3^2}+\frac{\cos 5x}{5^2}+\cdots\right)$$