2 独立性

前提は、 $x_1,\ldots,x_n\sim N(\mu,\sigma^2)$ で独立である、 ということだが、[2],[4] で示したことにより、

$$A = \left[\begin{array}{c}\vec{\alpha}_1\\ \vdots\\ \vec{\alpha}_... ..._{n-1,1}&\cdots&a_{n-1,n}\\ 1/\sqrt{n} &\cdots &1/\sqrt{n}\end{array}\right]$$

が直交行列であれば

$$u_1=\vec{\alpha}_1\vec{x},\ldots,u_{n-1}=\vec{\alpha}_{n-1}\vec{x... ...left(\vec{x}=\left[\begin{array}{c}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{array}\right]\right)$$

は独立であることがわかる。そして、これを用いると、 [4] で示したことにより、$u,v$ は

  $$\left\{\begin{array}{ll} u &= \displaystyle \sqrt{\frac{n}{\sig... ...pha}_i\vec{x})^2 = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n-1}u_i^2 \end{array}\right.$$ (4)

と変形できる。 $u_1,\ldots,u_n$ は独立なので、あとは一般に、

$$X=f(u_1,\ldots,u_k),\hspace{1zw}Y=g(u_{k+1},\ldots,u_n)$$

のように $u_j$ が共通に含まれない関数から作られる確率変数が 独立であることを示せばよい。 今の場合、 $u_j\sim N(\mu,\sigma^2)$ なので、その密度関数を $g(u)$ とすると、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\mathrm{Prob}\{X\leq t,\hspace{0.5zw}Y\leq s\} \ =\ ... ...ts du_n \\ &=& \mathrm{Prob}\{X\leq t\}\mathrm{Prob}\{Y\leq s\}\end{eqnarray*}$$

となるので、独立となる。

なお、この最後の独立性の部分は、$u_j$ の密度関数が共通でなくても言えるし、 $X,Y$ 2 つでなくても、共通に $u_j$ が含まれない変数のグループの関数で 作られる確率変数同士についても成立する。