7 小行列式に関する命題

ここで、(35) の漸化式を解くために必要な、 小行列式に関するいくつかの命題を紹介する。 そのために小行列に関する記号を導入する。 $m\times n$ 行列 $S=[s_{i,j}]_{m,n}$ で説明する。

添字の部分列を

$$I=(i_1,\ldots,i_p),\hspace{0.5zw}J=(j_1,\ldots,j_q) \hspace{1zw}(1\leq i_k\leq m,1\leq j_\ell\leq n)$$

のように書いて $i_k$ は互いに異なり、$j_\ell$ も互いに異なるとし、 通常は昇順に単調、すなわち $1\leq i_1<i_2<\cdots<i_p\leq m$ であることが 多いが、一般には単調性は仮定しない。 昇順に単調な場合を「昇順な添字列」と呼ぶことにする。 また、$I$ の $p$、$J$ の $q$ をこの添字列の「長さ」とする。

$S$ の $i_1,\ldots,i_p$ 行目、 $j_1,\ldots,j_q$ 列目の要素を順に 並べた $p\times q$ の小行列を

$$S^{I}_{J} = S^{(i_1,\ldots,i_p)}_{(j_1,\ldots,j_q)} =\left[\begin... ...}\\ \vdots & & \vdots\\ s_{i_p,j_1} & \cdots & s_{i_p,j_q}\end{array}\right]$$

のように書く。 これは、片方だけの $S^I$, $S_J$ のように使うこともあるが、 $S^I$ は $S$ の $i_1,\ldots,i_p$ 行目を上から順に並べた行列、 $S_J$ は $S$ の $j_1,\ldots,j_\ell$ 列目を左から順に並べた行列となる。

また、$[I]$ で、$1,\ldots,m$ から $i_1,\ldots,i_p$ を取り除いた 昇順な添字列を表し、$S$ から $i_1,\ldots,i_p$ 行目、 $j_1,\ldots,j_q$ 列目 を取り除いた $(m-p)\times(n-q)$ の小行列を

$$S^{[I]}_{[J]} = S^{[i_1,\ldots,i_p]}_{[j_1,\ldots,j_q]}$$

のように書くことにする。 また、

$$\vert I\vert = \vert(i_1,\ldots,i_p)\vert = \sum_{k=1}^p i_k, \hspace{1zw}\vert J\vert = \vert(j_1,\ldots,j_q)\vert = \sum_{\ell=1}^q j_\ell$$

とする。これらを用いれば、$n=m$ の場合の $S$ の $(i,j)$ 余因子は、

  $$\tilde{s}_{i,j} = (-1)^{i+j}\left\vert S^{[i]}_{[j]}\right\vert$$ (39)

と書け、$S$ の余因子行列 $\tilde{S}$ は

  $$\tilde{S}=[\tilde{s}_{j,i}]_{n,n} = \left[(-1)^{j+i}\left\vert S^{[j]}_{[i]}\right\vert\right]_{n,n}$$ (40)

で、$\vert S\vert\neq 0$ の場合の $S$ の逆行列は

  $$S=\frac{1}{\vert S\vert}\tilde{S} = \frac{1}{\vert S\vert}\left[(-1)^{j+i}\left\vert S^{[j]}_{[i]}\right\vert\right]_{n,n}$$ (41)

となる。

(40) より、余因子行列 $S$ の成分、 すなわち 1 次の小行列式は、 $S$ の $(n-1)$ 次の小行列式に符号をつけたもの

  $$\left\vert\tilde{S}^{(i)}_{(j)}\right\vert = (-1)^{j+i}\left\vert S^{[j]}_{[i]}\right\vert$$ (42)

となっているが、それを拡張した次の命題が成り立つことが知られている ([3], [4])。

命題 2

$n=m$ で、 $\vert S\vert\neq 0$ のとき、長さ $p$ ($1\leq p<n$) の 昇順な添字列 $I$, $J$ に対して次が成り立つ。

  $$\left\vert\tilde{S}^{I}_{J}\right\vert=(-1)^{\vert I\vert+\vert J\vert}\vert S\vert^{p-1} \left\vert S^{[J]}_{[I]}\right\vert$$ (43)

(42) は、(43) の $p=1$ の場合になっていて、 よって命題 2 は (42) の 拡張になっている。 この命題 2 の証明の前に、次の補題を紹介する。

補題 3

$S$ を $n\times(n-p)$ 行列、$J$ を 1 から $n$ の範囲の長さ $p$ の 昇順の添字列、 $E_n$ を $n$ 次正方行列とするとき、

  $$\vert(E_n)_J\hspace{0.5zw}S\vert = (-1)^\ell\left\vert S^{[J]}\r... ...0.5zw}\vert S\hspace{0.5zw}(E_n)_J\vert = (-1)^m\left\vert S^{[J]}\right\vert$$ (44)

となる。ここで、$\ell$, $m$ は

$$\ell = \vert J\vert+\frac{p(p+1)}{2},\hspace{1zw}m = \ell + p(n-p)$$

証明

$$E_n = \left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{e}_1&\cdots&\overri... ...\overrightarrow{s}_{n-p}\end{array}\right], \hspace{0.5zw}J=(j_1,\ldots,j_p)$$

とすると、1 列目から順番に展開していけば、

$$\begin{eqnarray*}\vert(E_n)_J\hspace{0.5zw}S\vert &=& \left\vert\begin{array}... ...\ &=& \cdots \ =\ (-1)^{\ell'}\left\vert S^{[J]}\right\vert \end{eqnarray*}$$

となることがわかる。ここで、$\ell'$ は、

$$\begin{eqnarray*}\ell' &=& j_1+1+(j_2-1)+1+(j_3-2)+1+\cdots+(j_p-(p-1))+1 \\... ... \vert J\vert+\,\frac{p(p-1)}{2}-p(p-1)+p \ =\ \ell-p(p-1) \end{eqnarray*}$$

となり、$p(p-1)$ は偶数なので $(-1)^{\ell'}=(-1)^\ell$ となって、 (44) の前半が示されたことになる。 後半は、行列式の列の入れ替えを行えば、

$$\begin{eqnarray*}\vert S\hspace{0.5zw}(E_n)_J\vert &=& \left\vert\begin{array}... ...& \cdots \ =\ (-1)^{p(n-p)}\vert(E_n)_J\hspace{0.5zw}S\vert \end{eqnarray*}$$

となるので、あとは前半部分を使えば後半部分が得られる。

命題 2 の証明

$$\tilde{S} =\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{\tilde{s}}_1&\cdots\overrightarrow{\tilde{s}}_n\end{array}\right]$$

とするとき、 $[I]=(i_1',\ldots,i_{n-p}')$ とし、

$$C =[\tilde{S}_J\hspace{0.5zw}(E_n)_{[I]}] =\left[\begin{array}{... ...errightarrow{e}_{i_1'}&\cdots&\overrightarrow{e}_{i_{n-p}'}\end{array}\right]$$

とする。このとき、 $S\tilde{S}=\vert S\vert E$ より、

$$S\overrightarrow{\tilde{s}}_i = \vert S\vert\overrightarrow{e}_i, \hspace{1zw}S\overrightarrow{e}_i=\overrightarrow{s}_i$$

なので、

$$\begin{eqnarray*}SC &=& \left[\begin{array}{cccccc}\vert S\vert\overrightarrow... ...rt S\vert\left[(E_n)_J\hspace{0.5zw}S_{[I]}/\vert S\vert\right] \end{eqnarray*}$$

となる。よって、補題 3 より

$$\begin{eqnarray*}\vert SC\vert &=& \vert S\vert^n\left\vert(E_n)_J\hspace{0.5z... ...=\ (-1)^\ell\vert S\vert^p\left\vert S_{[I]}^{[J]}\right\vert \end{eqnarray*}$$

となり、 $\ell=\vert J\vert+p(p+1)/2$ である。 また、$\vert C\vert$ については、再び補題 3 より

$$\vert C\vert =\left\vert\tilde{S}_J\hspace{0.5zw}(E_n)_{[I]}\right\vert =(-1)^m\left\vert\tilde{S}^{I}_J\right\vert$$

となり、$m$ は

$$m = \vert[I]\vert + \frac{(n-p)(n-p+1)}{2}+(n-p)p = \vert[I]\vert + \frac{(n-p)(n+p+1)}{2}$$

である。よって、$\vert SC\vert=\vert S\vert\vert C\vert$ より、

$$\left\vert\tilde{S}^{I}_J\right\vert =(-1)^{\ell-m}\vert S\vert^{p-1}\left\vert S_{[I]}^{[J]}\right\vert$$

となる。あとは $(-1)^{\ell-m}$ を考えればよい。

$$\begin{eqnarray*}\ell-m &=& \vert J\vert+\frac{p(p+1)}{2}-\vert[I]\vert - \,\f... ...,-\,\frac{(n-p)(n+p+1)}{2} \\ &=& \vert I\vert+\vert J\vert+k \end{eqnarray*}$$

とすると、

$$\begin{eqnarray*}k &=& \frac{p(p+1)}{2}\,-\,\frac{(n-p)(n+p+1)}{2}\, -\, \fra... ...}{2}\,-\,\frac{n}{2} \\ &=& p^2+p-n^2-n \ =\ p(p+1)-n(n+1) \end{eqnarray*}$$

となり、よって $k$ は偶数なので $(-1)^{\ell-m}=(-1)^{\vert I\vert+\vert J\vert}$ となって、これで (43) が示されたことになる。

系 4

命題 2 と同じ仮定の元、 $C=S^{-1}$ とすると、

1. $$\left\vert C^{I}_{J}\right\vert =\frac{(-1)^{\vert I\vert+\vert J\vert}}{\vert S\vert}\left\vert S^{[J]}_{[I]}\right\vert$$
2. $$\left\vert S^{I}_{J}\right\vert =\frac{(-1)^{\vert I\vert+\vert ... ...1)^{\vert I\vert+\vert J\vert}\vert S\vert\left\vert C^{[J]}_{[I]}\right\vert$$

証明

$$\vert[I]\vert=\frac{n(n+1)}{2}-\vert I\vert, \hspace{1zw} \vert[J]\vert=\frac{n(n+1)}{2}-\vert J\vert$$

より $(-1)^{\vert[I]\vert+\vert[J]\vert}=(-1)^{\vert I\vert+\vert J\vert}$、 $C=\tilde{S}/\vert S\vert$ より、 いずれも命題 2 から容易に得られる。

系 5

$\vert S\vert\neq 0$ の仮定を外しても命題 2 は成立する。

証明

$\vert S\vert=0$ のときにも (43) が 成り立つことを示せばよい。

今、 $S(\varepsilon)=S+\varepsilon E_n$ とすると、

$$\vert S(\varepsilon)\vert=\vert S+\varepsilon E_n\vert=\varepsilon^n+\cdots$$

という $\varepsilon$ の $n$ 次式であり、 $\vert S\vert=0$ と仮定すると $\vert S(0)\vert=\vert S\vert=0$ となるが、 $\vert S(\varepsilon)\vert=0$ となる $\varepsilon$ は高々 $n$ 個なので、 集積点はなく、よって

「 $0\leq\varepsilon<\delta$ では $\vert S(\varepsilon)\vert=0$ と なる $\varepsilon$ は $\varepsilon=0$ のみ」

となるような $\delta>0$ を取ることができる。 よって、 $0<\varepsilon<\delta$ では $\vert S(\varepsilon)\vert\neq 0$ だから $S(\varepsilon)$ に対して命題 2 が成立し、

  $$\left\vert\widetilde{S(\varepsilon)}^{I}_{J}\right\vert =(-1)^{... ...t S(\varepsilon)\vert^{p-1} \left\vert S(\varepsilon)^{[J]}_{[I]}\right\vert$$ (45)

が成り立つ。ここにでてくる行列式はいずれも $\varepsilon$ の多項式、 よって $\varepsilon$ の連続関数で、 $\varepsilon\rightarrow +0$ のときに 明らかに

$$\left\vert\widetilde{S(\varepsilon)}^{I}_{J}\right\vert\rightarro... ...silon)^{[J]}_{[I]}\right\vert \rightarrow\left\vert S^{[J]}_{[I]}\right\vert$$

となるから、(45) で $\varepsilon\rightarrow +0$ とすれば、$\vert S\vert=0$ のときの (43) が得られる。

$\vert S\vert=0$ の場合は、実際には (43) は、 $p=1$ ならば (42) であるから証明は不要で、 よって $p>1$ の場合に $\left\vert\tilde{S}^{I}_{J}\right\vert=0$ と なることだけ示せばいいので、このような解析的な証明ではなく、 代数的なより易しい証明があるかもしれない。

なお、この後の議論では、$\vert S\vert\neq 0$ が保証されていない状態で (43) を使う場面がでてくるので、 この系 5 の形に命題 2 を 拡張しておく必要があるのである。

補題 6

$n>k$、および $n\times k$ 行列 $S=\left[\begin{array}{ccc}\overrightarrow{s}_1&\cdots&\overrightarrow{s}_k\end{array}\right]$ に対し、 $\overrightarrow{s}_1,\ldots,\overrightarrow{s}_k$ が線形独立であることと、 $$\vert{}^t{S}S\vert=\left\vert\left[\overrightarrow{s}_i\mathrel{・}\overrightarrow{s}_j\right]_{k,k}\right\vert>0$$ であることは同値。

証明

行列式の展開定理により、

$$\vert{}^t{S}S\vert =\sum_{I\in T^n_k}\vert({}^t{S})_I\vert\vert ... ...rt({}^t{(S^I)}\vert\vert S^I\vert =\sum_{I\in T^n_k}\vert S^I\vert^2 \geq 0$$

となることがわかる。ここで、$T^n_k$ は 1 から $n$ までの範囲の、 長さ $k$ の昇順の添字列全体の集合。

よって、$\vert{}^t{S}S\vert=0$ であることはすべての $I\in T^n_k$ に 対して $\vert S^I\vert=0$ であることと同値で、 これは $\mathop{\rm rank}S<k$ を意味し、そしてこれは $S$ の列ベクトルが 線形従属であることと同値。