10 最後に

以上をまとめると、 $y_1,\ldots,y_m$ の独立性は以下のようになる。

• (2) のように $x_j$ の平均と分散が揃っていない ときは、標準化することで (7) の形にしてから 判定する (以降は $x_j\sim N(0,1)$ とする)
• $\overrightarrow{\hat{\alpha}}_i$ ($1\leq i\leq m$) が線形従属のときは $y_1,\ldots,y_m$ は独立ではない
• $\overrightarrow{\hat{\alpha}}_i$ ($1\leq i\leq m$) が線形独立のとき、 $y_1,\ldots,y_m$ が独立となるのはこのベクトルが互いに垂直のとき

なお、最初の標準化については、 すべての $x_j$ の分散が同じ $(=\sigma)$ であれば、

$$A\oplus\overrightarrow{\sigma} = \sigma A$$

となるので、実は標準化は必要なく、直接その $\overrightarrow{x}_i$ の係数の ベクトルの線形独立性と垂直性で判定できる。