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平成 13 年 6 月 8 日

超幾何分布の平均、分散、極限
新潟工科大学情報電子工学科竹野茂治

超幾何分布は、確率変数、確率関数が

$\begin{displaymath} x\in \{0,1,2,\ldots,n\},\hspace{1zw} p(x)=\frac{\left(\begin... ...}\right)}{\left(\begin{array}{c}N_1+N_0\\ n\end{array}\right)} \end{displaymath}$

で与えられる確率分布である。

補題 1

$\begin{eqnarray*}\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}N\\ k\end{array}\right)\left(... ...ight)\\ & = & \left(\begin{array}{c}N+M\\ n\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

証明

``母関数の方法'' を用いる。二項定理により

$\begin{displaymath} (1+x)^N=\sum_{j=0}^N\left(\begin{array}{c}N\\ j\end{array}\... ...=\sum_{k=0}^M\left(\begin{array}{c}M\\ k\end{array}\right)x^k \end{displaymath}$

であるので、

$\begin{eqnarray*}(1+x)^{N+M} & = & (1+x)^N(1+x)^M = \left\{\sum_{j=0}^N\left(\... ...\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}M\\ k\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

となるが、二項定理より

$\begin{displaymath} (1+x)^{N+M} = \sum_{\ell=0}^{N+M}\left(\begin{array}{c}N+M\\ \ell\end{array}\right)x^\ell \end{displaymath}$

であるので、ゆえに

$\begin{displaymath} \sum_{k+j=\ell}\left(\begin{array}{c}N\\ j\end{array}\right... ...ay}\right)=\left(\begin{array}{c}N+M\\ \ell\end{array}\right) \end{displaymath}$

命題 2

超幾何分布に対して、 ( )

証明

$\begin{eqnarray*}E[x] & = & \sum_{x=0}^n xp(x) = \sum_{k=0}^n k \frac{\left(... ...{array}\right)\left(\begin{array}{c}N_0\\ n-k\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

となるが、ここで、

$\begin{eqnarray*}k\left(\begin{array}{c}N_1\\ k\end{array}\right) & = & k\frac... ... & = & N_1\left(\begin{array}{c}N_1-1\\ k-1\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

なので、

$\begin{eqnarray*} % latex2html id marker 675 E[x] & = & \frac{1}{\left(\begin{... ...zw}(\mbox{補題 \ref{lemm:1} の $N,M,n$\ が $N_1-1,N_0,n-1$})\\ \end{eqnarray*}$

となる。ところで、

$\begin{eqnarray*}\left(\begin{array}{c}N_1+N_0\\ n\end{array}\right) & = & \fr... ...+N_0}{n}\left(\begin{array}{c}N_1+N_0-1\\ n-1\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

より、最後の式は約分されて

$\begin{displaymath} E[x] = \frac{N_1}{\displaystyle \frac{N_1+N_0}{n}} = n\frac{N_1}{N_1+N_0}=np \end{displaymath}$

となる。

命題 3

超幾何分布に対して、 $V[x]=npq\displaystyle \frac{N_1+N_0-n}{N_1+N_0-1}$ ( )

証明

$\begin{eqnarray*}E[x(x-1)] & = & \sum_{x=0}^n x(x-1)p(x) = \sum_{x=2}^n x(x-1)... ...ray}\right)\left(\begin{array}{c}N_0\\ n-k\end{array}\right)\\ \end{eqnarray*}$

であり、命題 2 の証明と同様にして

$\begin{displaymath} k(k-1)\left(\begin{array}{c}N_1\\ k\end{array}\right)=N_1(N_1-1)\left(\begin{array}{c}N_1-2\\ k-2\end{array}\right) \end{displaymath}$

がいえるので、補題 1 を使い、命題 2 の証明と同様の計算を行うと

$\begin{eqnarray*}E[x(x-1)] & = & \frac{N_1(N_1-1)}{\left(\begin{array}{c}N_1+N_0... ...\right)\\ & = & N_1(N_1-1)\frac{n(n-1)}{(N_1+N_0)(N_1+N_0-1)} \end{eqnarray*}$

となる。一方、

$\begin{displaymath} E[x(x-1)]=E[x^2-x]=E[x^2]-E[x] \mbox{ より } E[x^2]=E[x(x-1)]+E[x] \end{displaymath}$

であり、よって命題 2 より

$\begin{eqnarray*}V[x] & = & E[x^2]-E[x]^2=E[x(x-1)]+E[x]-E[x]^2\\ & = & N_1(N_... ..._1+N_0}\right\} \hspace{1zw}\left(p=\frac{N_1}{N_1+N_0}\right) \end{eqnarray*}$

ここで

とおくと

$\begin{eqnarray*}V[x] & = & np\left\{\frac{(n-1)(N_1-1)}{A-1}+1-n\frac{N_1}{A}\r... ...0-n}{N_1+N_0-1} \hspace{1zw}\left(q=\frac{N_0}{N_1+N_0}\right) \end{eqnarray*}$

以後、, と書くことにする。

命題 4

超幾何分布に対して、を固定して $N,M\rightarrow\infty$ とすると $HG(N,M;n)\rightarrow B(n,p)$

証明

$\begin{displaymath} p=\frac{N}{N+M} \end{displaymath}$

を固定するということは、

より

$\begin{displaymath} M=\frac{q}{p}N \end{displaymath}$

として $N\rightarrow\infty$ するということ。このとき、

$\begin{displaymath} p(x)=\frac{\left(\begin{array}{c}N\\ x\end{array}\right)\le... ...rrow \left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^xq^{n-x} \end{displaymath}$

となることを示せばよい ( $0\leq x\leq n$ )。以後、

とする。

$\begin{eqnarray*}p(x) & = & \frac{N(N-1)\cdots(N-x+1)}{x!}\times \frac{M(M-1)... ...0}^{x-1}\frac{N-j}{N+M-j} \prod_{k=0}^{y-1}\frac{M-k}{N+M-x-k} \end{eqnarray*}$

ここで、 $\displaystyle M=\frac{q}{p}N$ より

$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\frac{N-j}{N+M-j} =\frac{\displaystyle 1-\frac{j}{N}}... ...le \frac{q}{p}}{\displaystyle 1+\frac{q}{p}} = \frac{q}{p+q}=q} \end{eqnarray*}$

となるので、結局

$\begin{displaymath} p(x)\stackrel{N\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \left(\... ...^xq^y=\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^xq^{n-x} \end{displaymath}$

となる。

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Shigeharu TAKENO
2001年 8月 9日