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平成 13 年 6 月 22 日
中心極限定理の証明
新潟工科大学 情報電子工学科 竹野茂治

一般の連続分布に対する中心極限定理:

$x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$ が独立同分布で、その平均を $\mu$, 分散を $\sigma^2$ とするとき、

\begin{displaymath} \bar{x}_n=\frac{x_1+x_2+\cdots x_n}{n},\hspace{0.5zw} y_n=\sqrt{n}\frac{\bar{x}_n-\mu}{\sigma} \end{displaymath}

とすると $y_n$ の分布は $n\rightarrow\infty$ のとき 標準正規分布 $N(0,1)$ に収束する。すなわち、$n$ が大きいとき、 $\bar{x}_n$ の分布は $N(\mu,\sigma^2/n)$ で近似できる。
の証明はかなり面倒であるが (畳み込み積分、そのフーリエ変換、 $n$ 重積分の類似積分変換などの準備が必要)、 次の意味でのド$\cdot$モアブル$=$ラプラスの定理ならば スターリングの公式を使って導き出すことができる。


定理 1

$0<p<1$, $u$ に対して $\mu=np$, $\sigma=\sqrt{npq}$ ($q=1-p$) とし、 $x=\sigma u+\mu$ ( $u=(x-\mu)/\sigma$) とするとき、 $p$, $u$ を固定したまま $n\rightarrow\infty$ とすると

\begin{displaymath} \sigma\left(\begin{array}{c} n \\ x \end{array}\right)p^xq^{n-x}\rightarrow\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2} \end{displaymath}

となる。よって、$n$ が大きいとき、二項分布 $B(n,p)$ は 正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ ($\mu=np$, $\sigma=\sqrt{npq}$) で 近似できることになる。


この証明には、スターリングの公式:

\begin{displaymath} n!\sim n^n\sqrt{2\pi n}e^{-n}\hspace{0.5zw}(n\rightarrow\infty)\end{displaymath} (1)

を用いる。なお、この $\sim$ の意味は両辺の比が 1 に収束することを 意味する。また、以下ではランダウの記号と呼ばれる $O$ (ラージオー), $o$ (スモールオー) も使用するので、まず、その説明をしておく。


定義 2

$n\rightarrow\infty$ のとき、$a_n=o(b_n)$ (スモールオー) は、

\begin{displaymath} \frac{a_n}{b_n}\rightarrow 0 \end{displaymath}

となることを意味し、$a_n=O(b_n)$ (ラージオー) は、$a_n/b_n$ が 有界であることを意味する。


$a_n=o(b_n)$ のときは、$a_n$ は $b_n$ より小さいもの、 $a_n=O(b_n)$ のときは、$a_n$ は $b_n$ よりほぼ同等、ということになる。 例えば $a_n\rightarrow 0$ はこの記号を使えば $a_n=o(1)$ と書け、 スターリングの公式は、この記号を使えば

\begin{displaymath} n!= O(n^n\sqrt{2\pi n}e^{-n}),\hspace{1zw} n!= n^n\sqrt{2\pi n}e^{-n}(1+o(1)) \end{displaymath}

のように書けることになる。

定理 1 の証明

$x=u\sigma+\mu=u\sqrt{npq}+np$ により $x$ も $n$ によって変わることに 注意する。また、$0<p<1$ とする。

\begin{eqnarray*}\lefteqn{\log\sigma\left(\begin{array}{c} n \\ x \end{array}\ri... ... npq + \log n! - \log x! - \log (n-x)! + x\log p + (n-x)\log q \end{eqnarray*}



となる。 今、$p>0$, $q>0$ なので、$x$, $n-x$ は $n\rightarrow\infty$ のとき

\begin{eqnarray*}x & = & np+u\sqrt{npq} = n\left(p+u\sqrt{\frac{pq}{n}}\right) ... ...pq} = n\left(q-u\sqrt{\frac{pq}{n}}\right) \rightarrow\infty \end{eqnarray*}



となる。また、スターリングの公式より $m\rightarrow\infty$ のときは

\begin{eqnarray*}\log m! & = & \log m^m\sqrt{2\pi m}e^{-m}(1+o(1)) \\ & = & m\... ...frac{1}{2}\log 2\pi + \left(m+\frac{1}{2}\right)\log m -m +o(1) \end{eqnarray*}



であるので、

\begin{eqnarray*}\lefteqn{\log\sigma\left(\begin{array}{c} n \\ x \end{array}\ri... ...frac{n}{n-x} +x\log p\frac{n}{x}+(n-x)\log q\frac{n}{n-x}+o(1) \end{eqnarray*}



となる。ここで、上で見たように

\begin{displaymath} \frac{x}{n} = p + u\sqrt{\frac{pq}{n}},\hspace{1zw} \frac{n-x}{n} = q - u\sqrt{\frac{pq}{n}} \end{displaymath}

であるので、

\begin{displaymath} \log p\frac{n}{x} \rightarrow \log 1 = 0,\hspace{1zw} \log q\frac{n}{n-x} \rightarrow \log 1 = 0 \end{displaymath}

となるので

\begin{eqnarray*}\lefteqn{\log\sigma\left(\begin{array}{c} n \\ x \end{array}\ri... ...p}}\right) -(n-x)\log \left(1-u\sqrt{\frac{p}{nq}}\right)+o(1) \end{eqnarray*}



となる。テイラー展開

\begin{displaymath} \log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)\hspace{1zw}(x\rightarrow 0) \end{displaymath}

を用いると、

\begin{eqnarray*}\lefteqn{x\log\left(1+u\sqrt{\frac{q}{np}}\right) = (np+u\sqrt... ...-u\sqrt{npq}+\frac{u^2}{2}p+O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\\ \end{eqnarray*}



ゆえに

\begin{eqnarray*}\lefteqn{\log\sigma\left(\begin{array}{c} n \\ x \end{array}\ri... ...\log 2\pi -\frac{u^2}{2} = \log\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2} \end{eqnarray*}





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Shigeharu TAKENO
2001年 8月 9日