2 方向微分係数

2 変数関数 $z=f(x,y)$ に対する $x$ 方向の偏微分係数 $f_x(a,b)=(\partial f/\partial x)(a,b)$ の値は、 $(x,y)=(a,b)$ における $x$ 方向の $f$ の変化率、 $x$ 方向の接線の傾きを示す。 それは、$f_x(a,b)$ の定義が、

  $$f_x(a,b) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(a+\Delta x,b)-f(a,b)}{\Delta x}$$ (1)

だからであり、$(a,b)$ から $(a+\Delta x,b)$ への $x$ 方向の変化を見ているからである。

同様に、$y$ 方向の偏微分係数 $f_y(a,b)$ は、その定義

  $$f_y(a,b) = \lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(a,b+\Delta y)-f(a,b)}{\Delta y}$$ (2)

より、$(x,y)=(a,b)$ における $y$ 方向の $f$ の変化率、 $y$ 方向の接線の傾きを示す。

これらに対し、一般の方向の変化率、一般の方向の接線の傾きを示すのが 「方向微分係数」である。 今、 $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$ を単位ベクトル (長さ 1 のベクトル) とする。 平面ベクトルの場合、単位ベクトルは、 角 $\theta$ ( $0\leq\theta < 2\pi$) を用いて

  $$\overrightarrow{u}=(\cos\theta,\sin\theta)$$ (3)

と表すこともでき、$\theta$ は、 $\overrightarrow{u}$ の方位を示す。 この $\overrightarrow{u}$ 方向の $f$ の変化率を考える。

$(a,b)$ から $\overrightarrow{u}$ 方向に長さ $\Delta t$ だけ離れた点は、 $\vert\overrightarrow{u}\vert=1$ より、

$$(a,b)+\overrightarrow{u}\Delta t =(a+u_1\Delta t,b+u_2\Delta t) =(a+(\Delta t)\cos\theta, b+(\Delta t)\sin\theta)$$

と書くことができる。よって、

  $$\frac{\Delta f}{\Delta t} =\frac{f(a+u_1\Delta t,b+u_2\Delta t) - f(a,b)}{\Delta t}$$ (4)

が $\overrightarrow{u}$ 方向の平均変化率を表し、 $\overrightarrow{u}$ 方向 (角 $\theta$ 方向) の $(a,b)$ での方向微分係数は、

  $$\frac{\partial f}{\partial u}(a,b) =\lim_{\Delta t\rightarrow 0... ...{\Delta t\rightarrow 0}\frac{f(a+u_1\Delta t,b+u_2\Delta t) - f(a,b)}{\Delta t}$$ (5)

と定義される。

今、合成関数 $g(t)$ を

  $$g(t) = f(a+u_1t, b+u_2 t)$$ (6)

と定めると、(5) は、

  $$\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{f(a+u_1\Delta t,b+u_2\Delta t)... ...elta t} =\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{g(\Delta t)-g(0)}{\Delta t} =g'(0)$$ (7)

となる。一方、(6) の導関数は、 偏微分に関する合成関数の微分法により、

$$g'(t) =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} =f_x(a+u_1t,b+u_2t)u_1+f_y(a+u_1t,b+u_2t)u_2$$

となるので、$t=0$ とすれば

  $$g'(0) = f_x(a,b)u_1+f_y(a,b) u_2$$ (8)

となる。ここで、 $\nabla f=\nabla f(x,y)$ (成分が関数のベクトル) を、

  $$\nabla f(x,y) = (f_x(x,y),f_y(x,y))$$ (9)

と定めると、(8) は $\nabla f(a,b)$ と $\overrightarrow{u}$ との 内積となる。 よって (3), (5), (7), (8) より、次のことがわかる。

命題 1

$$\frac{\partial f}{\partial u}(a,b) = \nabla f(a,b)\mathop{・}\overrightarrow{u} = f_x(a,b)\cos\theta+f_y(a,b)\sin\theta$$

このように、一般の方向の傾きである 方向微分係数は、$x$,$y$ 方向の傾き $f_x(a,b)$, $f_y(a,b)$ を用いて 表されることになるが、それは接平面が $f_x(a,b)$, $f_y(a,b)$ のみ で決定することにも対応する。