5 微積分

三角関数の微分の公式は以下の通りである。

$$(\sin x)'=\cos x,\hspace{1zw} (\cos x)'= -\sin x,\hspace{1zw} (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}$$ (10)

双曲線関数の微分も、これによく似た公式が成り立つ。

$$(\sinh x)'= \cosh x,\hspace{1zw} (\cosh x)'= \sinh x,\hspace{1zw} (\tanh x)'= \frac{1}{\cosh^2 x}$$ (11)

(11) の最初の 2 つは $(e^x)'=e^x$, $(e^{-x})'=-e^{-x}$ から容易にわかる。$\tanh x$ の微分も、

$$\begin{eqnarray*}(\tanh x)' &=& \left(\frac{\sinh x}{\cosh x}\right)' = \fr... ...& \frac{\cosh^2 x-\sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x}\end{eqnarray*}$$

として得られる。

積分の公式も、三角関数の場合は (10) から

$$\int\sin x dx = -\cos x+C,\hspace{1zw} \int\cos x dx = \sin x+C$$

となるように、双曲線関数の積分は (11) より

$$\int\sinh x dx = \cosh x+C,\hspace{1zw} \int\cosh x dx = \sinh x+C$$ (12)

となる。 $\tan x$ の積分は、置換積分の公式

$$\int\frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log\vert f(x)\vert+C$$

を利用すれば、

$$\int\tan x dx = \int\frac{\sin x}{\cos x} dx = -\int\frac{(\cos x)'}{\cos x} dx = -\log\vert\cos x\vert+C$$

となるから、$\tanh x$ の積分も同様に

$$\int\tanh x dx = \int\frac{\sinh x}{\cosh x} dx = \int\frac{(\cosh x)'}{\cosh x} dx = \log\vert\cosh x\vert+C$$

となるが、$\cosh x>0$ であるから、

$$\int\tanh x dx = \log(\cosh x)+C$$ (13)

となる。