3 テイラー展開を利用する方法

2 節の方法は、考え方も計算も少し厄介である。この節では、高校の物理で習う放物運動の式を使い、斜面と放物運動曲線とをテイラー展開を用いて比較することで (12) を導く方法を紹介する。

今、斜面から離れていない物体の位置をとし、そのときの速度ベクトルを $\mbox{\boldmath$v$}_0=(v_x,v_y)$ とする。この速度ベクトルは斜面に接しているので、その傾きと斜面の傾きは等しく、よって

$\begin{displaymath} \frac{v_y}{v_x}=f'(x_0)\end{displaymath}$ (13)

が成り立つ。なお、物体は右側に移動しているので

である。

こので物体が斜面から離れるかどうかを、放物運動と比較して考えることにする。今、仮にこの斜面がここで切れていたとすれば、物体はから速度 $\mbox{\boldmath$v$}_0$ で投げた場合の放物運動をするはずである。まずその軌跡の方程式を計算しよう。この場合、物体には鉛直下向きにの力が働くのみなので、その時点を時刻 0 とすれば、よく知られているように

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{ll} y & = \displaystyle -\frac{g}{2}t^2+v_yt+f(x_0), [.5zh] x & = v_x t+x_0 \end{array}\right.\end{displaymath}$ (14)

が成り立つ。これは、高校の物理でもよく用いられる式であるが、運動方程式

$\begin{displaymath} \left\{\begin{array}{l} m\ddot{\mbox{\boldmath$r$}}=-mg\mbo... ...space{1zw}\mbox{\boldmath$r$}(0)=(x_0,f(x_0))\end{array}\right.\end{displaymath}$

を解くことでも容易に得られる。(14) より、

$\begin{displaymath} t=\frac{x-x_0}{v_x} \end{displaymath}$

なので、これを (14) の

の式に代入すれば、

$\begin{displaymath} y=-\frac{g}{2} \frac{(x-x_0)^2}{v_x^2}+\frac{v_y}{v_x}(x-x_0)+f(x_0) \end{displaymath}$

となるが、(13) よりこれは

$\begin{displaymath} y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)-\frac{g}{2v_x^2}(x-x_0)^2\end{displaymath}$ (15)

と書けることになる。これが放物曲線

の方程式であるが、この (15) 式は

の 2 次式の形になっていることに注意する。

さて、もし斜面がなければから右には物体はこのに沿って進むことになるから、もし「から右は斜面がより下って」いれば、物体は斜面から離れてに沿った放物運動をするだろうし、「より上がって」いれば、ではなく斜面に沿って動くことになる。よって、の近くでとの方程式 (15) との上下関係を見ることで、で物体が斜面から離れるかどうかがわかることになる。