5 半径 1 の球の体積の計算
この節では、
(
半径 1 の球の体積) を計算する。
これまで、
は
で考えていたが、
(8) が
,
でも成り立つように、
,
を
を満たすように決めることにすると、
![\begin{eqnarray*}\alpha_1 &=& \frac{\alpha_2}{2I_2}=\frac{\pi}{2\times\pi/4}=2,\\
\alpha_0 &=& \frac{\alpha_1}{2I_1}=\frac{2}{2\times 1}=1\end{eqnarray*}](img73.gif)
となり、このようにすれば (8) は
に対して成り立つことになる。
よって、(8) から
を帰納的に求めてみると、
![\begin{eqnarray*}\alpha_n
&=&
2I_n\alpha_{n-1}
=
(2I_n)(2I_{n-1})\alpha_{n-2}
= \cdots
\\ &=&
(2I_n)(2I_{n-1})\cdots(2I_1)\alpha_0\end{eqnarray*}](img75.gif)
となるので、結局
![\begin{displaymath}
\alpha_n = 2^nI_nI_{n-1}\cdots I_1\end{displaymath}](img76.gif) |
(11) |
と書けることになる。
ここで (10) より容易に、
であることがわかり、よっていずれにしても
![\begin{displaymath}
I_nI_{n-1}=\frac{1}{n}\times\frac{\pi}{2}\end{displaymath}](img78.gif) |
(12) |
が成り立つ。
これにより、(11) の右辺を 2 つずつまとめて考えればよいので、
が偶数の場合と奇数の場合に分けて考えると、以下のようになる。
そしてこの
に対し、
となることになる。
竹野茂治@新潟工科大学
2007年8月6日