5 半径 1 の球の体積の計算

この節では、$\alpha_n$ ($=$ 半径 1 の球の体積) を計算する。 これまで、$\alpha_n$ は $n\geq 2$ で考えていたが、 (8) が $n=2$, $n=1$ でも成り立つように、 $\alpha_1$, $\alpha_0$ を

$$\alpha_2=2\alpha_1 I_2,\hspace{1zw}\alpha_1=2\alpha_0 I_1$$

を満たすように決めることにすると、

$$\begin{eqnarray*}\alpha_1 &=& \frac{\alpha_2}{2I_2}=\frac{\pi}{2\times\pi/4}=2,\\ \alpha_0 &=& \frac{\alpha_1}{2I_1}=\frac{2}{2\times 1}=1\end{eqnarray*}$$

となり、このようにすれば (8) は $n\geq 1$ に対して成り立つことになる。

よって、(8) から $\alpha_n$ を帰納的に求めてみると、

$$\begin{eqnarray*}\alpha_n &=& 2I_n\alpha_{n-1} = (2I_n)(2I_{n-1})\alpha_{n-2} = \cdots \\ &=& (2I_n)(2I_{n-1})\cdots(2I_1)\alpha_0\end{eqnarray*}$$

となるので、結局

$$\alpha_n = 2^nI_nI_{n-1}\cdots I_1$$ (11)

と書けることになる。 ここで (10) より容易に、

$$I_{2n}I_{2n+1}=\frac{1}{2n+1}\times\frac{\pi}{2},\hspace{1zw} I_{2n-1}I_{2n}=\frac{1}{2n}\times\frac{\pi}{2}$$

であることがわかり、よっていずれにしても

$$I_nI_{n-1}=\frac{1}{n}\times\frac{\pi}{2}$$ (12)

が成り立つ。 これにより、(11) の右辺を 2 つずつまとめて考えればよいので、 $n$ が偶数の場合と奇数の場合に分けて考えると、以下のようになる。

$$\alpha_{2m} = %2^{2m}I_{2m}I_{2m-1}\cdots I_1 2^{2m}(I_{2m}I_{2m-1})(I_{2m-2}I_{2m-3})\cdots (I_2I_1)$$

$$= 2^{2m} \left(\frac{1}{2m}\,\frac{\pi}{2}\right) \left(\frac{1}{2m-2}\,\frac{\pi}{2}\right) \cdots \left(\frac{1}{2}\,\frac{\pi}{2}\right)$$

$$= \frac{2^m\pi^m}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2m)}$$ (13)

$$\alpha_{2m+1} = %2^{2m+1}I_{2m+1}I_{2m}\cdots I_1 2^{2m+1}(I_{2m+1}I_{2m})(I_{2m-1}I_{2m-2})\cdots (I_3I_2)I_1$$

$$= 2^{2m+1} \left(\frac{1}{2m+1}\,\frac{\pi}{2}\right) \left(\frac{1... ...}\,\frac{\pi}{2}\right) \cdots \left(\frac{1}{3}\,\frac{\pi}{2}\right)\cdot I_1$$

$$= \frac{2^{m+1}\pi^m}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2m+1)}$$ (14)

そしてこの $\alpha_n$ に対し、 $V_n(r)=\alpha_nr^n$ となることになる。