7 半角の公式を利用する方法

$0\leq H\leq\tan(\pi/4)$ を $0\leq H\leq\tan(\pi/8)$ に帰着させるのに、 5 節では $\tan(\pi/4-\theta)$ の加法定理を用いて $\theta=\pi/4-\theta_3$ を考えたが、 その代わりに半角の公式 (9) を利用するという方法も考えられる。

つまり、 $\theta_5=\theta/2$ に対して、

$$H_5 =\tan\theta_5 =\tan\frac{\theta}{2} =\frac{H}{\sqrt{H^2+1}+1}$$

であるから、 $H>\tan(\pi/8)=\sqrt{2}-1$ ($\theta>\pi/8$) のときは $H$ からこの式により $H_5$ を求め、

$$\theta_5=\arctan H_5$$

として $\theta=2\theta_5$ と求める方法である。 この場合も $H_5\leq\tan(\pi/8)$ となってくれるので 5 節と同等の誤差が期待できるのであるが、 しかしこの $H_5$ の計算には $H^2+1$ の平方根が含まれてしまう。 元の問題に戻れば、そのマイコンに任意の正の実数の平方根を計算する機能が そなわっていない場合には、この方法が使えないことになる。 つまり、半角の公式を用いる方法はそのような目的には ふさわしくない可能性がある。