2 アークタンジェントの展開式

まず、アークタンジェントのマクローリン展開式を紹介する。なお、タンジェントの逆関数であるアークタンジェントは、 $\arctan x$ や $\tan^{-1} x$ と書かれることもあるが、本稿では統一して $\arctan x$ と書くことにする。

またマクローリン展開式も、定義通りの微分による計算では規則性を見出すのが難しいので、ここでは別な方法で求めることにする。

無限等比数列の和の公式

$\begin{displaymath} \frac{1}{1-r} =1+r+r^2+r^3+\cdots \hspace{1zw}(\vert r\vert<1) \end{displaymath}$

で

( $\vert t\vert<1$ ) とすると

$\begin{displaymath} \frac{1}{1+t^2} =1-t^2+t^4-t^6+\cdots \hspace{1zw}(\vert t\vert<1) \end{displaymath}$

が成り立つ。これを、 $\vert x\vert<1$ である

に対し

から

まで積分すると、

$\begin{displaymath} \int_0^x\frac{dt}{1+t^2} =\arctan x =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots \hspace{1zw}(\vert x\vert<1)\end{displaymath}$ (1)

となる。これが $\arctan x$ のマクローリン展開である。

竹野茂治＠新潟工科大学
2009年1月18日