2 逆行列

行列 $A$ の逆行列 $X=A^{-1}$ は、$AX=XA=E$ となるものを言うが、 実際には $XA=E$ さえ成り立てば、$X=A^{-1}$ となる。

今、3 次の正方行列 $A$ を列ベクトルに、$B$ を行ベクトルに分けて、

$$A=\left[\mbox{\boldmath$a$}_1\ \mbox{\boldmath$a$}_2\ \mbox{... ...boldmath$b$}_2\\ {}^t\!\mbox{\boldmath$b$}_3\end{array}\right]$$

( $\mbox{\boldmath$a$}_j$, $\mbox{\boldmath$b$}_j$ はいずれも列ベクトル) として積 $BA$ を考えると、

$$\begin{eqnarray*}BA &=& \left[\begin{array}{c}{}^t\!\mbox{\boldmath$b$}_1\\ {... ...& (\mbox{\boldmath$b$}_3,\mbox{\boldmath$a$}_3)\end{array}\right]\end{eqnarray*}$$

となることがわかる。 ここで、 $(\mbox{\boldmath$b$}_i,\mbox{\boldmath$a$}_j)$ はベクトル $\mbox{\boldmath$b$}_i$ と $\mbox{\boldmath$a$}_j$ の内積で、行列としての積 ${}^t\!\mbox{\boldmath$b$}_i\mbox{\boldmath$a$}_j$ は明らかに、 ベクトルとしての内積 $(\mbox{\boldmath$b$}_i,\mbox{\boldmath$a$}_j)$ に等しい。

もし、この $BA$ が対角行列になるとすると、

$$\left\{\begin{array}{lll} (\mbox{\boldmath$b$}_1,\mbox{\bol... ...x{\boldmath$b$}_3,\mbox{\boldmath$a$}_2) &= 0\end{array}\right.$$

でなければならないが、これは、

$$\mbox{\boldmath$b$}_1\perp\mbox{\boldmath$a$}_2,\ \mbox{\bol... ...ldmath$a$}_1,\ \mbox{\boldmath$b$}_3\perp\mbox{\boldmath$a$}_2$$

を意味する。 よって、例えば $\mbox{\boldmath$b$}_1$ は $\mbox{\boldmath$a$}_2$, $\mbox{\boldmath$a$}_3$ に垂直であるから、 その外積 $\mbox{\boldmath$a$}_2\times\mbox{\boldmath$a$}_3$ に平行であることになり、同様にして、

$$\mbox{\boldmath$b$}_1\,//\,\mbox{\boldmath$a$}_2\times\mbox{... ...th$b$}_3\,//\,\mbox{\boldmath$a$}_1\times\mbox{\boldmath$a$}_2$$

が成り立つことになる。

そして、今

$$\mbox{\boldmath$b$}_1=\mbox{\boldmath$a$}_2\times\mbox{\bol... ...boldmath$b$}_3=\mbox{\boldmath$a$}_1\times\mbox{\boldmath$a$}_2$$ (3)

とすると、 ベクトル $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ の三重積 $(\mbox{\boldmath$a$}\times\mbox{\boldmath$b$},\mbox{\boldmath$c$})$ が、 $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$, $\mbox{\boldmath$c$}$ の作る行列の行列式に等しい (教科書 [1] p58 (14.6)) という性質:

$$(\mbox{\boldmath$a$}\times\mbox{\boldmath$b$},\mbox{\boldmat... ...x{\boldmath$a$}\ \mbox{\boldmath$b$}\ \mbox{\boldmath$c$}\vert$$

および定理 15.4 により、

$$\begin{eqnarray*}(\mbox{\boldmath$b$}_1,\mbox{\boldmath$a$}_1) &=& (\mbox{\bold... ...mbox{\boldmath$a$}_2\ \mbox{\boldmath$a$}_3\vert = \vert A\vert\end{eqnarray*}$$

となるので、この (3) による $B$、すなわち

$$B = {}^t\!\left[\mbox{\boldmath$a$}_2\times\mbox{\boldmath$... ..._1 \ \ \mbox{\boldmath$a$}_1\times\mbox{\boldmath$a$}_2\right]$$ (4)

に対して、

$$BA = \left[\begin{array}{ccc}\vert A\vert&0&0\\ 0&\vert A\vert&0\\ 0&0&\vert A\vert\end{array}\right] = \vert A\vert E$$

が成り立つことになる。よって (2) により、 この $B$ は $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ に等しいことがわかる。

結局、3 次の逆行列を求める場合、 $A$ の列ベクトルの外積からなる行列の転置行列 (4) を計算すれば これが余因子行列となるので、 これを $\vert A\vert$ で割れば $A$ の逆行列が求まることがわかったことになる。