3 外積の大きさ

まずは、外積の大きさに関して、 (1) から 1. を示すことを考えるが、 これは単純に成分計算で示すことができる。

今、 $\mbox{\boldmath$a$}$ と $\mbox{\boldmath$b$}$ のなす角を $\theta$ ($0<\theta<\pi$) とする。 $\mbox{\boldmath$a$}\times\mbox{\boldmath$b$}$ の長さの 2 乗を考えると、

$$\begin{eqnarray*}\lefteqn{\vert\mbox{\boldmath$a$}\times\mbox{\boldmath$b$}\vert... ...{\boldmath$b$}\vert^2-(\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$})^2\end{eqnarray*}$$

となる。ここで、 $(\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$})=\vert\mbox{\boldmath$a$}\vert\vert\mbox{\boldmath$b$}\vert\cos\theta$ なので、

$$\begin{eqnarray*}\vert\mbox{\boldmath$a$}\vert^2\vert\mbox{\boldmath$b$}\vert^2-... ...x{\boldmath$a$}\vert^2\vert\mbox{\boldmath$b$}\vert^2\sin^2\theta\end{eqnarray*}$$

となる。よって、結局

$$\vert\mbox{\boldmath$a$}\times\mbox{\boldmath$b$}\vert=\vert\mbox{\boldmath$a$}\vert\vert\mbox{\boldmath$b$}\vert\sin\theta$$ (2)

となることがわかる。 $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$ が作る平行四辺形を考えると、 $\vert\mbox{\boldmath$a$}\vert$ を底辺と見れば、 $\vert\mbox{\boldmath$b$}\vert\sin\theta$ がそれに垂直な高さになるので、 よって (2) の右辺は、 $\mbox{\boldmath$a$}$, $\mbox{\boldmath$b$}$ が作る平行四辺形の面積に等しくなる。