2 基本事項

本稿で使用する記号、必要となる事項などを紹介する。 まずは用語、記号から。

• $\mbox{\boldmath$R$}$ = 実数全体の集合, $\mbox{\boldmath$C$}$ = 複素数全体の集合
• $M_{m,n}(\mbox{\boldmath$R$})$ = 成分が実数の $m\times n$ 行列全体の集合、
  $M_{m,n}(\mbox{\boldmath$C$})$ = 成分が複素数の $m\times n$ 行列全体の集合
• $\mbox{\boldmath$R$}^n$: $M_{n,1}(\mbox{\boldmath$R$})$ を (実) ベクトル空間と見て、内積
  $$(\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$}) = \left(\left[\begin{a... ...ay}{c}b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\end{array}\right]\right) =\sum_{j=1}^n a_jb_j$$
  を導入したもの。
• $\mbox{\boldmath$C$}^n$: $M_{n,1}(\mbox{\boldmath$C$})$ を複素数を係数とする複素ベクトル空間と見て、 複素内積
  $$\langle{\mbox{\boldmath$\alpha$},\mbox{\boldmath$\beta$}}\rangle ... ..._n\end{array}\right]\right\rangle =\sum_{j=1}^n \alpha_j\,\overline{\beta_j}$$
  を導入したもの。 なお、複素数を係数とする複素ベクトル空間 $V$ の 複素内積 $\langle{\mbox{\boldmath$\alpha$},\mbox{\boldmath$\beta$}}\rangle$ は、 複素数値をとるもので、次の 1.-4. を満たすもの。
  1. $\langle{\mbox{\boldmath$\alpha$},\mbox{\boldmath$\beta$}}\rangle =\overline{\langle{\mbox{\boldmath$\beta$},\mbox{\boldmath$\alpha$}}\rangle }$
  2. $\langle{\mbox{\boldmath$\alpha$}+\mbox{\boldmath$\beta$},\mbox{\boldmath$\gamma... ...$}}\rangle +\langle{\mbox{\boldmath$\beta$},\mbox{\boldmath$\gamma$}}\rangle$ ( $\langle{\mbox{\boldmath$\alpha$},\mbox{\boldmath$\beta$}+\mbox{\boldmath$\gamma... ...}}\rangle +\langle{\mbox{\boldmath$\alpha$},\mbox{\boldmath$\gamma$}}\rangle$)
  3. $\langle{k\mbox{\boldmath$\alpha$},\mbox{\boldmath$\beta$}}\rangle =\langle{\m... ...}}\rangle =k\langle{\mbox{\boldmath$\alpha$},\mbox{\boldmath$\beta$}}\rangle$ ( $k\in\mbox{\boldmath$C$}$)
  4. $\langle{\mbox{\boldmath$\alpha$},\mbox{\boldmath$\alpha$}}\rangle$ は実数値で 0 以上。 $\langle{\mbox{\boldmath$\alpha$},\mbox{\boldmath$\alpha$}}\rangle =0$ となるのは $\mbox{\boldmath$\alpha$}=\mbox{\boldmath$0$}$ のときでそのときに限る。
• $\mbox{\boldmath$R$}^n$ では、 $(\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$})=0$ のとき、 $\mbox{\boldmath$a$}$ と $\mbox{\boldmath$b$}$ は垂直、直交する といい、 $\mbox{\boldmath$a$}\perp\mbox{\boldmath$b$}$ と書く。
  $\mbox{\boldmath$C$}^n$ でも、 $\langle{\mbox{\boldmath$\alpha$},\mbox{\boldmath$\beta$}}\rangle =0$ のとき、 $\mbox{\boldmath$\alpha$}$ と $\mbox{\boldmath$\beta$}$ は 垂直、 直交する といい、 $\mbox{\boldmath$\alpha$}\perp\mbox{\boldmath$\beta$}$ と書く。
• $\mbox{\boldmath$R$}^n$ では $\vert\mbox{\boldmath$a$}\vert=\sqrt{(\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$a$})}$ を $\mbox{\boldmath$a$}$ の 長さ、大きさ といい、 $\mbox{\boldmath$C$}^n$ では $\Vert\mbox{\boldmath$\alpha$}\Vert =\sqrt{\langle{\mbox{\boldmath$\alpha$},\mbox{\boldmath$\alpha$}}\rangle }$ を $\mbox{\boldmath$\alpha$}$ の 長さ、大きさ という。 また、長さが 1 のベクトルを単位ベクトルと言う。
• $\mbox{\boldmath$K$}^n$ ( $\mbox{\boldmath$K$}=\mbox{\boldmath$R$}, \mbox{\boldmath$C$}$) の部分集合 $V$ が、 $\mbox{\boldmath$p$},\mbox{\boldmath$q$}\in V$ ならば $\mbox{\boldmath$p$}+\mbox{\boldmath$q$}\in V$、 $\mbox{\boldmath$p$}\in V$, $c\in\mbox{\boldmath$K$}$ ならば $c\mbox{\boldmath$p$}\in V$ を満たすとき、 $V$ を部分空間 という。
• $\mbox{\boldmath$K$}^n$ ( $\mbox{\boldmath$K$}=\mbox{\boldmath$R$}, \mbox{\boldmath$C$}$) のベクトル $\mbox{\boldmath$p$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$p$}_m$ の線形結合とは、 $c_1\mbox{\boldmath$p$}_1+\cdots+c_m\mbox{\boldmath$p$}_m$ ( $c_j\in\mbox{\boldmath$K$}$) の 形の式のこと。 $\mbox{\boldmath$p$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$p$}_m$ が線形従属であるとは、 そのうちの一つが他のものの線形結合で表される場合。 $\mbox{\boldmath$p$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$p$}_m$ が線形独立であるとは、 線形従属ではない場合。
• 部分空間 $V$ の次元 とは、 その中から取れる線形独立なベクトルの組 $\mbox{\boldmath$p$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$p$}_m$ の個数 $m$ の最大値。 そのようなベクトルの組を $V$ の基底 と呼ぶ。
• $\mbox{\boldmath$p$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$p$}_m$ が $V$ の基底のとき、 $V$ の任意のベクトル $\mbox{\boldmath$x$}$ は、 $\mbox{\boldmath$x$}=c_1\mbox{\boldmath$p$}_1+\cdots+c_m\mbox{\boldmath$p$}_m$ の形に一意に表される。
• $\mbox{\boldmath$K$}^n$ ( $\mbox{\boldmath$K$}=\mbox{\boldmath$R$}, \mbox{\boldmath$C$}$) の部分空間 $V$ の基底で、 それらが互いに垂直な単位ベクトルの場合、 それを $V$ の 正規直交基底 と呼ぶ。
• $E=E_n(\in M_{n,n}(\mbox{\boldmath$R$}))$ = $n$ 次単位行列 (対角成分が 1 の対角行列)、
  $O=O_{m,n}(\in M_{m,n}(\mbox{\boldmath$R$}))$ = 零行列 (成分が全部ゼロ)
• $A=[a_{i,j}]\in M_{m,n}(\mbox{\boldmath$K$})$ ( $\mbox{\boldmath$K$}=\mbox{\boldmath$R$}, \mbox{\boldmath$C$}$) に対し、 $\,{}^t\!{A}=[a_{j,i}]\in M_{n,m}(\mbox{\boldmath$K$})$ を $A$ の転置行列、 $A=[a_{i,j}]\in M_{m,n}(\mbox{\boldmath$C$})$ に対し、 $A^{\ast}=[\overline{a_{j,i}}]=\overline{\,{}^t\!{A}}\in M_{n,m}(\mbox{\boldmath$C$})$ を $A$ の随伴行列 という。
• $A\in M_{n,n}(\mbox{\boldmath$R$})$ に対し、 $\,{}^t\!{A}=A$ となる $A$ を対称行列、 $\,{}^t\!{A}=-A$ となる $A$ を交代行列、 $\,{}^t\!{A}A=E$ となる $A$ を直交行列と呼ぶ。
• $A\in M_{n,n}(\mbox{\boldmath$C$})$ に対し、 $A^{\ast}=A$ となる $A$ をエルミート行列、 $A^{\ast}=-A$ となる $A$ を歪エルミート行列、 $A^{\ast}A=E$ となる $A$ をユニタリ行列 と呼ぶ。
• 行列 $A\in M_{n,n}(\mbox{\boldmath$C$})$ を対角化するとは、 正則行列 $P\in M_{n,n}(\mbox{\boldmath$C$})$ を取って、 $P^{-1}AP$ が対角行列になるようにすること (常にできるとは限らない)。
• $A\in M_{n,n}(\mbox{\boldmath$C$})$ に対して、 $f_A(\lambda)=\vert\lambda E-A\vert$ を $A$ の固有多項式、 $f_A(\lambda)=0$ の解 $\lambda$ を $A$ の固有値、 $A$ の固有値 $\lambda$ に対して、 $A\mbox{\boldmath$\alpha$}=\lambda\mbox{\boldmath$\alpha$}$, $\mbox{\boldmath$\alpha$}\neq\mbox{\boldmath$0$}$ と なる $\mbox{\boldmath$\alpha$}\in\mbox{\boldmath$C$}^n$ を $A$ の $\lambda$ に対する固有ベクトル と呼ぶ (必ず存在する)。

次は、本稿で必要な、容易に示される (あるいは良く知られている) 事実を あげる。

• $\mbox{\boldmath$K$}^n$ ( $\mbox{\boldmath$K$}=\mbox{\boldmath$R$}, \mbox{\boldmath$C$}$) の次元は $n$。
• $\mbox{\boldmath$p$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$p$}_m$ が線形独立 $\mbox{ $\Leftrightarrow$\ }$「 $c_1\mbox{\boldmath$p$}_1+\cdots+c_m\mbox{\boldmath$p$}_m=\mbox{\boldmath$0$}$ となる のは $c_1=\cdots=c_m=0$ のときのみ」
• $\mbox{\boldmath$p$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$p$}_m$ が $\mbox{\boldmath$0$}$ ではなく、 互いに垂直であるとき、これらは線形独立である。
• $\mbox{\boldmath$K$}^n$ ( $\mbox{\boldmath$K$}=\mbox{\boldmath$R$}, \mbox{\boldmath$C$}$) の部分空間 $V$ の次元が $k$ ($k\leq n$) のとき、 $V$ の正規直交基底 $\mbox{\boldmath$p$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$p$}_k$ を取ることができる。
• $\mbox{\boldmath$K$}^n$ ( $\mbox{\boldmath$K$}=\mbox{\boldmath$R$}, \mbox{\boldmath$C$}$) の部分空間 $V$ の次元が $k$ ($1\leq k\leq n$) で、 $\mbox{\boldmath$p$}_j\in V$ ( $j=1,2,\ldots,m$, $m<k$) が 互いに垂直な単位ベクトルであるとき、 これらを含む $V$ の正規直交基底 $\mbox{\boldmath$p$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$p$}_k$ を 取ることができる。
• $A=[\mbox{\boldmath$a$}_1\ \cdots\ \mbox{\boldmath$a$}_n]\in M_{n,n}(\mbox{\boldmath$R$})$ が 直交行列 $\mbox{ $\Leftrightarrow$\ }$ $\mbox{\boldmath$a$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$a$}_n\in\mbox{\boldmath$R$}^n$ が正規直交基底
• $A=[\mbox{\boldmath$\alpha$}_1\ \cdots\ \mbox{\boldmath$\alpha$}_n]\in M_{n,n}(\mbox{\boldmath$C$})$ が ユニタリ行列 $\mbox{ $\Leftrightarrow$\ }$ $\mbox{\boldmath$\alpha$}_1,\ldots,\mbox{\boldmath$\alpha$}_n\in\mbox{\boldmath$C$}^n$ が 正規直交基底
• $A=B+Ci\in M_{n,n}(\mbox{\boldmath$C$})$ ( $B,C\in M_{n,n}(\mbox{\boldmath$R$})$) が エルミート行列 $\mbox{ $\Leftrightarrow$\ }$ $B$ が対称行列かつ $C$ が交代行列、 $A$ が歪エルミート行列 $\mbox{ $\Leftrightarrow$\ }$ $B$ が交代行列かつ $C$ が対称行列。 よって、エルミート行列の成分が実数ならば対称行列、 歪エルミート行列の成分が実数ならば交代行列。
• $\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$}\in\mbox{\boldmath$R$}^n$ に対して、 $(\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$})=\,{}^t\!{\mbox{\boldmath$b$}}\mbox{\boldmath$a$}$、 $\mbox{\boldmath$\alpha$},\mbox{\boldmath$\beta$}\in\mbox{\boldmath$C$}^n$ に対して、 $\langle{\mbox{\boldmath$\alpha$},\mbox{\boldmath$\beta$}}\rangle =\mbox{\boldmath$\beta$}^{\ast}\mbox{\boldmath$\alpha$}$ (右辺は行列の積として)
• $\mbox{\boldmath$a$}\in\mbox{\boldmath$R$}^n$, $\mbox{\boldmath$b$}\in\mbox{\boldmath$R$}^m$, $A\in M_{m,n}(\mbox{\boldmath$R$})$ に対して $(A\mbox{\boldmath$a$},\mbox{\boldmath$b$})=(\mbox{\boldmath$a$},\,{}^t\!{A}\mbox{\boldmath$b$}) =\,{}^t\!{\mbox{\boldmath$b$}}A\mbox{\boldmath$a$}$、
  $\mbox{\boldmath$\alpha$}\in\mbox{\boldmath$C$}^n,\mbox{\boldmath$\beta$}\in\mbox{\boldmath$C$}^m$, $A\in M_{m,n}(\mbox{\boldmath$C$})$ に対して $\langle{A\mbox{\boldmath$\alpha$},\mbox{\boldmath$\beta$}}\rangle =\langle{\m... ...math$\beta$}}\rangle =\mbox{\boldmath$\beta$}^{\ast}A\mbox{\boldmath$\alpha$}$
• $\mbox{\boldmath$\alpha$}_j=\mbox{\boldmath$a$}_j+i\mbox{\boldmath$b$}_j\in\mbox{\boldmath$C$}^n$ ( $\mbox{\boldmath$a$}_j,\mbox{\boldmath$b$}_j\in\mbox{\boldmath$R$}^n$) ($j=1,2$) に対し、
  $\langle{\mbox{\boldmath$\alpha$}_1,\mbox{\boldmath$\alpha$}_2}\rangle =(\mbox... ...$b$}_1,\mbox{\boldmath$a$}_2)-(\mbox{\boldmath$a$}_1,\mbox{\boldmath$b$}_2)\}$、 $\Vert\mbox{\boldmath$\alpha$}_j\Vert^2=\vert\mbox{\boldmath$a$}_j\vert^2+\vert\mbox{\boldmath$b$}_j\vert^2$
• $A,B\in M_{n,n}(\mbox{\boldmath$C$})$ に対し $\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert$
• $A$, $B$ が
  $$A=\left[\begin{array}{c\vert c}A_1 & A_2\\ \hline A_3 & A_4\end{a... ...B=\left[\begin{array}{c\vert c}B_1 & B_2\\ \hline B_3 & B_4\end{array}\right]$$
  で、$A_1,A_3$ の列数と $B_1,B_2$ の行数が $n_1$, $A_2,A_4$ の列数と $B_3,B_4$ の行数が $n_2$ のとき、
  $$AB = \left[\begin{array}{c\vert c}A_1 & A_2\\ \hline A_3 & A_4\... ...B_3 & A_1B_2+A_2B_4\\ \hline A_3B_1+A_4B_3 & A_3B_2+A_4B_4\end{array}\right]$$
  なお行列内の罫線は、本稿では行列内に行列 (小行列) が 成分のように並べられていることを意味するが、 列ベクトルの並びや三角行列などには罫線は使わない。
• $$\,{\rule{0pt}{1.7em}}^t\!{\left[\begin{array}{c\vert c}A_1 & A_2\... ...A_1} & \,{}^t\!{A_3}\\ \hline \,{}^t\!{A_2} &\,{}^t\!{A_4}\end{array}\right]$$
• $\,{}^t\!{(AB)}=\,{}^t\!{B}\,{}^t\!{A}$、 $\overline{(AB)}=\overline{A}\,\overline{B}$、 $(AB)^{\ast}=B^{\ast}A^{\ast}$
• $A,B\in M_{n,n}(\mbox{\boldmath$C$})$ がユニタリ行列ならば $AB, BA$ もユニタリ行列、
  $A,B\in M_{n,n}(\mbox{\boldmath$R$})$ が直交行列ならば $AB, BA$ も直交行列