8 おわりに

帰納的な行列式の定義から、行列式の主要な性質を帰納法で証明してみたが、 そのうちいくつかは、最初に

$\vert A\vert$ は、$A$ の $n^2$ 個の要素のうちの $n$ 個の要素の積 からなる $n!$ 個の項に $+$ か $-$ をつけたものの和となっていて、

• $+$ をつけた項と $-$ をつけた項の数は等しい ($=n!/2$ 個)
• 各項の $n$ 個の積の要素は、 そのすべてが異なる行、異なる列に入っていて、 よって各項にはすべての行の要素、すべての列の要素が一つずつ含まれている
• 各項の $n$ 個の積の要素の取り方に重複はなく、 よってそれらの組合せのすべて (総数 $n!$ 個) が 丁度現れる

という事実を証明しておけば (これの証明自体はさほど難しくはない²)、 そこから簡単に導かれるのであるが、 ここではあえて帰納法にこだわった証明を行った。

よって、あまり自然でもなく、必要以上に煩雑な議論になってしまっている ところもあるように感じる。

また最初に述べたように、 これはあくまで数学者としての証明に対する興味の結果であり、 学生の勉強に向くものではなく、実用性もほとんどないと思われる。 よってこれを見ても (ましてや勉強しても) 何かの役に立つ、 ということはまずないと思う。

しかし逆に言えば、数学者の問題意識はどこにあるのか、 つまり普通の人とは違ってこういうところが気になる、 むしろこういうところに興味がある、 あるいは普段こういう証明などを考えている、 ということを知ってもらうという点では意味があるのかもしれない³。