7 割り算による方法

本節では、前節よりシンプルな割り算による方法で、$A^n$ の計算を考えてみる。

前節と同じ、$N=3$ の場合で考える。 まず、 $f_A(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ の、 重解がない場合を考える。

$n\geq 3$ に対して $x^n$ を $f_A(x)$ で割れば、余りは 2 次式になり、 よってその商を $Q_n(x)$, 余りを $R_n(x)$ とすれば

  $$x^n = Q_n(x)f_A(x)+R_n(x) = Q_n(x)(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)+R_n(x)$$ (29)

となる。 ここに、$A$ を代入すれば、$f_A(A)=O$ より $A^n=R_n(A)$ となるから、 結局 $R_n(x)$ を求めればよいことがわかる。

(29) で $x=\alpha,\beta,\gamma$ とすれば、

  $$\alpha^n = R_n(\alpha),\hspace{1zw}\beta^n = R_n(\beta),\hspace{1zw}\gamma^n = R_n(\gamma)$$ (30)

となるので、後は (30) を満たす 2 次関数 $R_n(x)$ を 求めればよいが、それは、最終的には、(24) の $N=3$ の場合の式

$$R_n(x) =\frac{(x-\beta)(x-\gamma)}{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)... ...ha)}\beta^n +\frac{(x-\alpha)(x-\beta)}{(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)}\gamma^n$$

となる。

重解を持つ場合も同様で、 $f_A(x)=(x-\alpha)^2(x-\beta)$ ( $\alpha\neq\beta$) の場合、

  $$x^n = Q_n(x)f_A(x)+R_n(x) = Q_n(x)(x-\alpha)^2(x-\beta)+R_n(x)$$ (31)

とすると、$R_n(x)$ は

  $$\alpha^n=R_n(\alpha), \hspace{1zw}\beta^n=R_n(\beta), \hspace{1zw}n\alpha^{n-1}=R_n'(\alpha)$$ (32)

を満たすことがわかる。 最後の式は、(31) の両辺を微分して $x=\alpha$ と したものである。 よって、$R_n(x)$ を $\alpha$ でテイラー展開した形で考え

$$R_n(x) = a+b(x-\alpha)+c(x-\alpha)^2$$

とすれば、 $a=R_n(\alpha)=\alpha^n$, $b=R_n'(\alpha)=n\alpha^{n-1}$ となり、

$$R_n(\beta) = \alpha^n+n\alpha^{n-1}(\beta-\alpha)+c(\beta-\alpha)^2 = \beta^n$$

より、$c$ は

$$c = \frac{\beta^n-\alpha^n}{(\beta-\alpha)^2} -\frac{n\alpha^{n-1}}{\beta-\alpha}$$

となり、結局、

$$R_n(x) =\alpha^n +n\alpha^{n-1}(x-\alpha) + \left(\frac{\beta^n-... ...ha^n}{(\beta-\alpha)^2} -\frac{n\alpha^{n-1}}{\beta-\alpha}\right)(x-\alpha)^2$$

となり、ここから (27) が得られることになる。

$f_A(x)=(x-\alpha)^3$ の場合は、

  $$x^n = Q_n(x)f_A(x)+R_n(x) = Q_n(x)(x-\alpha)^3+R_n(x)$$ (33)

とすると、$R_n(x)$ は

  $$\alpha^n=R_n(\alpha), \hspace{1zw}n\alpha^{n-1}=R_n'(\alpha) \hspace{1zw}n(n-1)\alpha^{n-2}=R_n''(\alpha)$$ (34)

となるので、$R_n(x)$ は、

$$\begin{eqnarray*}R_n(x) &=& R_n(\alpha)+R_n'(\alpha)(x-\alpha)+\frac{R_n''(\a... ...+n\alpha^{n-1}(x-\alpha)+\frac{n(n-1)}{2}\alpha^{n-2}(x-\alpha)^2\end{eqnarray*}$$

となって (28) が得られる。

なお、この場合の $R_n(x)$ は、二項定理を使って、

$$\begin{eqnarray*}x^n &=& (x-\alpha+\alpha)^n = \sum_{k=1}^n\left(\!\!\begin... ...} +\left(\!\!\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\!\!\right)\alpha^n\end{eqnarray*}$$

から得ることもできる。

なお、この節の割り算による方法なら、 固有方程式の解を求めなくても、 具体的な $n$ に対して実際に $x^n$ を $f_A(x)$ で割り算を行って 余り $R_n(x)$ を求めることで $A^n$ を計算できる、 というメリットもある。