2 ケイリー・ハミルトンの公式

まず、ケイリー・ハミルトンの公式を紹介する。 2 次の正方行列に対しては、次のようになる。

定理 1

$$A=\left[\begin{array}{cc}a & b\\ c & d\end{array}\right]$$ に対し、

  $$A^2 -(a+d)A + (ad-bc)E = O$$ (1)

が成り立つ ($E$ は単位行列、$O$ はゼロ行列)。

証明

$$\begin{eqnarray*}A^2-(a+d)A &=& A(A-(a+d)E) = \left[\begin{array}{cc}a&b\\ ... ...cc}-ad+bc & 0\\ 0 & -ad+bc\end{array}\right] \\ &=& -(ad-bc)E \end{eqnarray*}$$

3 次以上の行列にも同様のことが成り立つことが知られているが、 それを説明するには行列式 (教科書 [1] 第 3 章) が必要となる。 $N$ 次正方行列 $A$ に対して、行列式

  $$f_A(x) = \vert xE-A\vert$$ (2)

で定まる $N$ 次多項式を $A$ の固有多項式と呼ぶ。 一般のケイリー・ハミルトンの公式は以下のようになる。

定理 2

$N$ 次正方行列 $A$ に対し、$f_A(A)=O$ が成り立つ。

定理 2 の証明は易しくはない。 なお、多項式

$$f(x) = \sum_{k=0}^m a_k x^k = a_mx^m + a_{m-1}x^{m-1} + a_1x + a_0$$

に対し、正方行列 $A$ を代入した式、すなわち行列の多項式は、

$$f(A) = \sum_{k=0}^m a_k A^k = a_mA^m + a_{m-1}A^{m-1} + a_1A + a_0E$$

と定める。$A^j$ と $A^k$ は可換なので、 多項式に対して $p(x)q(x)=r(x)$ が成り立てば、 行列に対しても $p(A)q(A)=q(A)p(A)=r(A)$ が成り立つ。

$$A=\left[\begin{array}{cc}a & b\\ c & d\end{array}\right]$$ に対しては、

$$\begin{eqnarray*}f_A(x) &=& \vert xE-A\vert = \left\vert\begin{array}{rr}x-a... ...nd{array}\right\vert = (x-a)(x-d)-bc \\ &=& x^2-(a+d)x+(ad-bc)\end{eqnarray*}$$

なので、定理 2 の $N=2$ の場合が 定理 1 になる。